বহুপদী

গণিতে, বহুপদী হল একটি অনির্দিষ্ট (যাকে চলরাশিও বলা হয়) এবং সহগ সমন্বিত এক রাশিমালা, যেটিতে কেবল চলরাশির যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ধনাত্মক-পূর্ণসংখ্যার সূচকের ক্রিয়াকলাপ জড়িত। একটি একক অনির্দিষ্ট $x$ এর বহুপদীর উদাহরণ হল $x 2 - 4 x + 7$ । তিনটি অনির্দিষ্টসহ একটি বহুপদীর উদাহরণ হল $x 3 + 2 xyz 2 - yz + 1$ ।

বহুপদী গণিত এবং বিজ্ঞানের অনেক ক্ষেত্রে উপস্থিত থাকে। উদাহরণস্বরূপ, এগুলি বহুপদী সমীকরণ তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়, যা প্রাথমিক শব্দ সমস্যা থেকে জটিল বৈজ্ঞানিক সমস্যা পর্যন্ত বিস্তৃত সমস্যাগুলিকে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করে; এগুলি বহুপদী অপেক্ষককে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, যা মৌলিক রসায়ন এবং পদার্থবিদ্যা থেকে অর্থনীতি এবং সামাজিক বিজ্ঞানের মত বিষয়গুলিতে পর্যন্ত উপস্থিত; এগুলি কলনবিদ্যা (ক্যালকুলাস) এবং সাংখ্যিক বিশ্লেষণে অন্যান্য অপেক্ষকের আনুমানিক হিসাবের জন্য ব্যবহৃত হয়। উচ্চতর গণিতে, বহুপদী বলয় এবং বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়, যা বীজগণিত এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতির মূল ধারণা।

উৎপত্তি

বহুপদী শব্দটির ইংরেজি প্রতিশব্দ polynomial শব্দটি দুটি বৈচিত্র্যময় মূলকে যুক্ত করেছে: গ্রিক poly, যার অর্থ "অনেক/বহু", এবং ল্যাটিন nomen বা "নাম"। এটি গ্রিক poly-এর সাথে ল্যাটিন মূল bi- প্রতিস্থাপন করে দ্বিপদ(binomial) শব্দটি থেকে উদ্ভূত হয়েছিল। অর্থাৎ, এর অর্থ হল অনেকগুলো পদের সমষ্টি (অনেকগুলি একক পদ)। বহুপদী শব্দটি প্রথম ব্যবহৃত হয়েছিল ১৭ শতকে। ^[১]

সাংকেতিক প্রতীক এবং পরিভাষা

তৃতীয় ঘাতের একটি বহুপদী অপেক্ষকের লেখচিত্র

একটি বহুপদীতে থাকা xকে সাধারণত একটি চলরাশি বা একটি অনির্দিষ্ট বলা হয়। যখন বহুপদীকে একটি রাশিমালা হিসাবে বিবেচনা করা হয়, তখন x একটি নির্দিষ্ট প্রতীক যার কোনো মান নেই (এর মান "অনির্দিষ্ট")। কিন্তু, যখন কেউ বহুপদী দ্বারা সংজ্ঞায়িত অপেক্ষককে বিবেচনা করে, x তখন অপেক্ষকের আর্গুমেন্ট নির্দেশ করে এবং তাই একে "চলরাশি" বলা হয়। অনেক লেখক এই দুটি শব্দ বিনিময়যোগ্যভাবে ব্যবহার করেন।

অনির্দিষ্ট x- এর একটি বহুপদী P সাধারণত P বা P(x) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। রীত্যনুসারে, বহুপদীর নাম হল P, কিন্তু P(x) নয়, কিন্তু যখন একটি বহুপদী এবং সংশ্লিষ্ট অপেক্ষকের মধ্যে পার্থক্য অস্পষ্ট ছিল তখন থেকে অপেক্ষকের প্রতীক হিসাবে P(x)-এর ব্যবহার শুরু হয়। অধিকন্তু, অপেক্ষকের প্রতীক প্রায়শই, একটি একক বাক্যাংশে, একটি বহুপদী এবং তার অনির্দিষ্টকে সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করার জন্য উপযোগী। উদাহরণ স্বরূপ, "ধরা যাক P(x) একটি বহুপদী" হল একটি সংক্ষিপ্ত হস্তলিপি যা "P অনির্দিষ্ট x- এর একটি বহুপদী মনে করা যাক"। অন্যদিকে, যখন অনির্দিষ্টের নামের উপর জোর দেওয়ার প্রয়োজন হয় না, অনেকগুলি সূত্র পড়া অনেক সহজ এবং সরল হয় যখন বহুপদীর প্রতিটি পুনরাবৃত্তির সময়ে অনির্দিষ্ট(গুলি)-এর নাম(গুলি) উপস্থিত থাকে না।

একটি গাণিতিক বিষয়বস্তুর জন্য দুটি প্রতীক থাকার অস্পষ্টতা বহুপদীগুলির জন্য অপেক্ষকের প্রতীকের সাধারণ অর্থ বিবেচনা করে আনুষ্ঠানিকভাবে সমাধান করা যেতে পারে। যদি একটি সংখ্যা, একটি চলরাশি, আরেকটি বহুপদী, বা, আরও সাধারণভাবে, কোনো রাশি বোঝায়, তাহলে P(a) বোঝায়, প্রচলিতভাবে, P- তে x এর জন্য a প্রতিস্থাপনের ফলাফল। সুতরাং, বহুপদী P অপেক্ষক সংজ্ঞায়িত করে

a\mapsto P(a),

যা P এর সাথে যুক্ত বহুপদী অপেক্ষক। প্রায়শই, এই প্রতীক ব্যবহার করার সময়, কেউ অনুমান করে যে a হল একটি সংখ্যা। যদিও, যেকোনো ক্ষেত্রে এটি ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে যোগ এবং গুণ সংজ্ঞায়িত করা হয় (অর্থাৎ, যেকোনো বলয় (রিং)-এ )। বিশেষ করে, a যদি বহুপদী হয় তাহলে P(a)ও একটি বহুপদী।

আরও বিশেষভাবে, a যখন অনির্দিষ্ট x হয়, তখন এই অপেক্ষক দ্বারা x- এর চিত্রটি নিজেই বহুপদী P (x- এর পরিবর্তে x করলে কোনো পরিবর্তন হয় না)। অন্য ভাবে প্রকাশ করলে,

P(x)=P,

যা আনুষ্ঠানিকভাবে একই বহুপদীর জন্য দুটি প্রতীকের অস্তিত্বকে সমর্থন করে।

সংজ্ঞা

একটি বহুপদী রাশিমালা হল এমন একটি রাশিমালা যা ধ্রুবক এবং প্রতীক, যাদের চলরাশি অথবা অনির্দিষ্ট বলা হয়, তাদের যোগ, গুণ এবং সূচকীকরণ ও একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার ঘাত এর মাধ্যমে তৈরী যেতে পারে। ধ্রুবকগুলি সাধারণত সংখ্যা, তবে এমন কোনও রাশি হতে পারে যা অনির্দিষ্টর সাথে জড়িত নয় এবং গাণিতিক বিষয়বস্তুর প্রতিনিধিত্ব করে যার যোগ এবং গুন করা যেতে পারে। দুটি বহুপদী রাশিমালাকে একই সংজ্ঞা হিসাবে বিবেচনা করা হয় যদি, যোগ এবং গুণের বিনিময় বৈশিষ্ট্য, সহযোজী ধর্ম এবং বিতরণযোগ্যতার স্বাভাবিক বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করে, বহুপদী দুটি একটি অপরটিতে পরিবর্তিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ $(x-1)(x-2)$ এবং $x^{2}-3x+2$ দুটি বহুপদী রাশি যা একই বহুপদীকে প্রতিনিধিত্ব করে; সুতরাং, তারা সমতায় রয়েছে $(x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2$ .

একটি অনির্দিষ্ট $x$ -এর একটি বহুপদী সর্বদা নিম্নোক্ত আকারে লেখা (বা পুনরায় লেখা) যেতে পারে

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.

যেখানে $a_{0},\ldots ,a_{n}$ ধ্রুবক যাকে বহুপদীর সহগ বলা হয়, এবং $x$ হল অনির্দিষ্ট।^[২] "অনির্দিষ্ট" শব্দের অর্থ হল যে $x$ কোনো নির্দিষ্ট মানের প্রতিনিধিত্ব করে না, যদিও যেকোনো মানের জন্য প্রতিস্থাপিত হতে পারে। এই প্রতিস্থাপনের ফলাফলকে প্রতিস্থাপিত মানের সাথে যুক্ত করে এমন ম্যাপিং হল একটি অপেক্ষক, একেই বলা হয় বহুপদী অপেক্ষক।

সমষ্টির প্রতীক ব্যবহার করে এটি আরও সংক্ষিপ্তভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}

অর্থাৎ, একটি বহুপদী হয় শূন্য হতে পারে বা সসীম সংখ্যক অ-শূন্য পদের একটি সমষ্টি হিসাবে লেখা যেতে পারে। প্রতিটি পদ একটি সংখ্যার গুণফল নিয়ে গঠিত – পদটির সহগ বলা হয়^[ক] – এবং সসীম সংখ্যক অনির্দিষ্ট, অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার ঘাতে উত্থাপিত।

শ্রেণিবিভাগ

একটি পদে একটি অনির্দিষ্টের সূচককে সেই পদে সেই অনির্দিষ্টের মাত্রা বলা হয়; পদটির মাত্রা হল সেই পদে অনির্দিষ্টগুলির ঘাতের যোগফল, এবং একটি বহুপদীর মাত্রা হল অ-শূন্য সহগ সহ যেকোনো পদের বৃহত্তম ঘাত।^[৩] কারণ $x = x 1$ , একটি লিখিত সূচক ছাড়া একটি অনির্দিষ্টের ঘাত হল এক।

কোনো অনির্দিষ্ট পদ এবং কোনো অনির্দিষ্ট বহুপদীকে যথাক্রমে একটি ধ্রুবক পদ এবং একটি ধ্রুবক বহুপদী বলা হয়। ^[খ] একটি ধ্রুবক পদ এবং একটি অশূন্য ধ্রুবক বহুপদীর মাত্রা হল ০। শূন্য বহুপদীর মাত্রা হল ০ (যার আদৌ কোনো পদ নেই), এটিকে সাধারণত সংজ্ঞায়িত নয় বলে ধরা হয় (তবে নীচে দেখুন)। ^[৪]

উদাহরণস্বরূপ:

-5x^{2}y

একটি পদ। এখানে সহগ হল $-5$ , অনির্দিষ্টগুলি হল $x$ এবং $y$ , $x$ এর ঘাত দুই, এবং $y$ এর ঘাত এক। সম্পূর্ণ পদের মাত্রা হল প্রতিটি অনির্দিষ্টগুলির ঘাতের সমষ্টি, তাই এই উদাহরণে ডিগ্রী হল $2 + 1 = 3$ ।

বিভিন্ন পদের সমষ্টি একটি বহুপদী গঠন করে। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিতটি একটি বহুপদী:

\underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}.

এটি তিনটি পদ নিয়ে গঠিত: প্রথমটির ঘাত দুই, দ্বিতীয়টির ঘাত এক এবং তৃতীয়টির ঘাত শূন্য।

কম মাত্রার বহুপদীর নির্দিষ্ট নাম দেওয়া হয়েছে। শূন্য মাত্রিক একটি বহুপদী হল একটি ধ্রুবক বহুপদী, অথবা কেবলই একটি ধ্রুবক। এক, দুই বা তিন মাত্রার বহুপদী যথাক্রমে রৈখিক বহুপদী, দ্বিঘাত বহুপদী এবং ঘন বহুপদী।^[৩] উচ্চ মাত্রার জন্য, নির্দিষ্ট নামগুলি সাধারণত ব্যবহৃত হয় না, যদিও চতুর্ঘাত (কোয়ার্টিক)বহুপদী (চতুর্থ মাত্রার জন্য) এবং পঞ্চমাত্রিক (কুইন্টিক)বহুপদী (পাঁচ মাত্রার জন্য) কখনও কখনও ব্যবহার করা হয়। মাত্রার নাম বহুপদী বা তার পদের জন্য প্রয়োগ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, $x 2 + 2 x + 1$ -এ $2 x$ একটি দ্বিঘাত বহুপদীতে একটি রৈখিক পদ।

বহুপদী ০, যার কোনো পদ নেই বলে বিবেচিত হতে পারে, তাকে শূন্য বহুপদী বলা হয়। অন্যান্য ধ্রুবক বহুপদী থেকে ভিন্ন, এর মাত্রা শূন্য নয়। বরং, শূন্য বহুপদীর মাত্রা হয় স্পষ্টভাবে অসংজ্ঞায়িত অথবা ঋণাত্মক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (হয় −১ বা −∞)। শূন্য বহুপদীটিও অনন্য, কারণ এটি একটি অনির্দিষ্টের জন্য একমাত্র বহুপদী যার অসীম সংখ্যক মূল রয়েছে। শূন্য বহুপদীর লেখচিত্র, $f (x) = 0$ , হল x -অক্ষ।

একাধিক অনির্দিষ্টযুক্ত বহুপদীর ক্ষেত্রে, একটি বহুপদীকে $n$ মাত্রার (degree $n$ এর) সমজাতীয় বলা হয় যদি এর সমস্ত অ-শূন্য পদের মাত্রা $n$ (degree $n$ ) হয়। শূন্য বহুপদী সমজাতীয়, এবং, একটি সমজাতীয় বহুপদী হিসাবে, এর মাত্রা অসংজ্ঞাত। ^[গ] উদাহরণস্বরূপ, $x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 - 3 x 5$ মাত্রা ৫ এর সমজাতীয় বহুপদী। আরো বিস্তারিত জানার জন্য, সমজাতীয় বহুপদী দেখুন।

সংযোজনের বিনিময় বৈশিষ্টটি যেকোনো পছন্দের ক্রমে পদগুলিকে পুনর্বিন্যাস করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি অনির্দিষ্টযুক্ত বহুপদীতে, পদগুলি সাধারণত ঘাত অনুসারে সাজানো হয়, হয় " $x$ এর ঘাতের অধঃক্রমে", সর্ববৃহৎ ঘাতযুক্ত পদ প্রথমে অথবা " $x$ এর ঘাতের ঊর্ধ্বক্রমে"। বহুপদী $3 x 2 - 5 x + 4$ $x$ কে ঘাতের অধঃক্রমে লেখা হয়েছে। প্রথম পদটির সহগ $3$ (৩), অনির্দিষ্ট $x$ এবং সূচক $2$ রয়েছে। দ্বিতীয় পদে, সহগ হল -5 (-৫) (is $-5$ ). তৃতীয় পদটি একটি ধ্রুবক। যেহেতু একটি অ-শূন্য বহুপদীর মাত্রা হল যেকোনো একটি পদের সবচেয়ে বড় ঘাত, এই বহুপদীটির দুইটি মাত্রা আছে। ^[৫]

একই ঘাতে উত্থাপিত একই অনির্দিষ্ট দুটি পদকে "একইরকম পদ" বা "সদৃশ পদ" বলা হয় এবং সেগুলিকে বণ্টনমূলক সূত্র ব্যবহার করে একটি একক পদে একত্রিত করা যেতে পারে যার সহগ হবে সেই একত্রিত পদগুলির সহগগুলির সমষ্টি। এর ফলে সহগ ০ (শূন্য) হয়ে যেতে পারে। ^[৬] বহুপদীগুলিকে অশূন্য সহগ সহ পদগুলির সংখ্যা দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে, যাতে একটি এক-পদবিশিষ্ট বহুপদীকে একপদী বলা হয়, ^[ঘ] একটি দুই-পদবিশিষ্ট বহুপদীকে দ্বিপদী বলা হয়, এবং একটি তিন-পদবিশিষ্ট বহুপদীকে একটি ত্রিপদী বলা হয়। "চতুর্পদী" পরিভাষাটি কখনো কখনো একটি চার পদবিশিষ্ট বহুপদীর জন্য ব্যবহৃত হয়।

একটি বাস্তব বহুপদী হল এমন একটি বহুপদী যা বাস্তব সহগযুক্ত। যখন এটি একটি অপেক্ষককে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, তখন এর ক্ষেত্রটি সীমাবদ্ধ নয়। তবে, একটি বাস্তব বহুপদী অপেক্ষক বাস্তব সংখ্যা থেকে বাস্তব সংখ্যা পর্যন্ত একটি অপেক্ষক যাকে একটি বাস্তব বহুপদী দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। একইভাবে, একটি পূর্ণসংখ্যা বহুপদী হল পূর্ণসংখ্যা সহগবিশিষ্ট একটি বহুপদী, এবং একটি জটিল বহুপদী হল জটিল (সংখ্যা) সহগবিশিষ্ট একটি বহুপদী।

একটি অনির্দিষ্টযুক্ত বহুপদীকে একটি একক-পরিবর্তনশীল বহুপদী বলা হয়, একাধিক অনির্দিষ্টযুক্ত বহুপদীকে বহু-পরিবর্তনশীল বহুপদী বলা হয়। দুইটি অনির্দিষ্ট বিশিষ্ট বহুপদীকে দ্বি-পরিবর্তনশীল বহুপদী বলা হয়। ^[২] এই ধারণাগুলি পৃথক বহুপদীর চেয়ে সাধারণত যে ধরনের বহুপদী নিয়ে কাজ করা হয় তা বোঝায়; উদাহরণ স্বরূপ, একক-পরিবর্তনশীল বহুপদীর সাথে কাজ করার সময়, কেউ ধ্রুবক বহুপদীকে বাদ না দেয় (যা অ-ধ্রুবক বহুপদীর বিয়োগের ফলে হতে পারে), যদিও দৃঢ়ভাবে বলতে গেলে, ধ্রুবক বহুপদীতে কোনো অনির্দিষ্ট থাকে না। অনুমোদিত অনির্দিষ্ট সংখ্যার সর্বোচ্চ সংখ্যার অনুসারে বহু-পরিবর্তনশীল বহুপদীকে দ্বি-পরিবর্তনশীল, ত্রি-পরিবর্তনশীল, এবং এভাবেই আরও শ্রেণিবিভাগ করা সম্ভব। আবার, যাতে বিবেচনাধীন বিষয়বস্তুর গুচ্ছ বিয়োগের অধীনে আবদ্ধ করা হয়, ত্রি-পরিবর্তনশীল বহুপদীর একটি অধ্যয়ন সাধারণত দ্বি-পরিবর্তনশীল বহুপদীকে অনুমতি দেয়, ইত্যাদি। এটাও সাধারণভাবে বলা যায় " $x, y$ , এবং $z$ এর বহুপদী", এরূপেই অনুমোদিত অনির্দিষ্টের তালিকা করা যায়।

একটি বহুপদীর মূল্যায়নে প্রতিটি অনির্দিষ্টের একটি সংখ্যাসূচক মান প্রতিস্থাপন করা এবং নির্দেশিত গুণ ও সংযোজন করা হয়। একটি অনির্দিষ্টযুক্ত বহুপদীর ক্ষেত্রে, (কম সংখ্যক গাণিতিক প্রক্রিয়া সম্পাদনের জন্য) হর্নারের পদ্ধতি ব্যবহার করে মূল্যায়ন সাধারণত আরও কার্যকর হয়:

(((((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.

পাটিগণিত

যোগ ও বিয়োগ

বহুপদীগুলিকে যোগের সহযোগী ধর্ম ব্যবহার করে যোগ করা যেতে পারে (তাদের সমস্ত পদকে এক সাথে একত্রিত করে), সম্ভবত পুনর্বিন্যাস (বিনিময় বৈশিষ্ট ব্যবহার করে) এবং অনুরূপ পদগুলিকে একত্রিত করে। ^[৬]^[৭] উদাহরণস্বরূপ, যদি

P=3x^{2}-2x+5xy-2

এবং

Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8

তাহলে যোগফল

P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8

হিসাবে পুনর্বিন্যাস এবং পুনর্গঠিত করা যেতে পারে

P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)

এবং তারপর সরলীকৃত করলে

P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.

যখন বহুপদীগুলিকে একত্রে যোগ করা হয়, ফলাফল আরেকটি বহুপদী হয় । ^[৮]

বহুপদী বিয়োগের ক্ষেত্রেও অনুরূপ।

গুণ

বহুপদীকে গুণও করা যায়। দুটি বহুপদীর গুণফলকে পদের সমষ্টি রূপে প্রসারিত করতে, বন্টনমূলক সূত্র বারবার প্রয়োগ করা হয়, যার ফলে একটি বহুপদীর প্রতিটি পদ অন্যটির প্রতিটি পদ দ্বারা গুণিত হয়। ^[৬] উদাহরণস্বরূপ, যদি

{\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}

এরপর

{\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}

প্রতিটি পদের গুণন করলে পাওয়া যায়

{\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}

অনুরূপ পদগুলিকে একত্রিত করে পাই

{\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}

যা সরলীকৃত করে পাই

PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.

উদাহরণ হিসাবে, বহুপদীর গুণফল সর্বদা একটি বহুপদী। ^[৪]^[৮]

গঠন

প্রদত্ত একটি বহুপদী $f$ একক চলরাশির এবং আরেকটি বহুপদী $g$ যেকোনো সংখ্যক চলরাশির, কম্পোজিশন $f\circ g$ প্রথম বহুপদীর চলরাশির প্রতিটি অনুলিপি দ্বিতীয় বহুপদী দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাওয়া যায়। ^[৪] উদাহরণস্বরূপ, যদি $f(x)=x^{2}+2x$ এবং $g(x)=3x+2$ তারপর $(f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).$ বহুপদীর গুণ ও ভাগের নিয়ম ব্যবহার করে একটি গঠনকে পদের সমষ্টিরূপে প্রসারিত করা যেতে পারে। দুটি বহুপদীর গঠন আরেকটি বহুপদী। ^[৯]

ভাগ

একটি বহুপদীকে অন্য একটি বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে সাধারণত বহুপদী হয় না। পরিবর্তে, এই ধরনের অনুপাতগুলি বিষয়বস্তুর একটি আরও সাধারণ গোষ্ঠী, যা প্রেক্ষাপটের উপর নির্ভর করে বীজগণিতীয় / মূলদ ভগ্নাংশ, মূলদ রাশি, বা মূলদীয় অপেক্ষক বলা হয়। ^[১০] এটি এই সত্যের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ যে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত একটি মূলদ সংখ্যা, অগত্যা একটি পূর্ণসংখ্যা নয়। ^[১১]^[১২] উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ $1/(x 2 + 1)$ একটি বহুপদী নয়, এবং এটিকে চলরাশি $x$ এর ঘাতের একটি সসীম যোগফলের আকারে লেখা যাবে না।

একটি চলরাশির বহুপদীগুলির জন্য, বহুপদীগুলির ইউক্লিডীয় ভাগের একটি ধারণা রয়েছে, যা পূর্ণসংখ্যাগুলির ইউক্লিডীয় ভাগের সাধারণীকরণ বা সর্বজনীন করে। ^[ঙ] $a (x)/ b (x)$ ভাগের এই ধারণার ফলে দুটি বহুপদী, একটি ভাগফল $q (x)$ এবং একটি অবশিষ্ট $r (x)$ হয়, যেমন $a = b q + r$ এবং $r$ -এর মাত্রা $<$ $b$ -এর মাত্রা [ $degree(r) < degree(b)$ ]। ভাগফল এবং অবশিষ্ট বহুপদীর দীর্ঘ ভাগ এবং কৃত্রিম ভাগ সহ বিভিন্ন অ্যালগরিদমের যেকোনো একটির দ্বারা ইহা গণনা করা যেতে পারে। ^[১৩]

যখন $b (x)$ হরটি একক এবং রৈখিক হয়, অর্থাৎ, কোনো ধ্রুবক $c$ এর জন্য $b (x) = x - c$ , তখন বহুপদী ভাগশেষ উপপাদ্য দাবি করে যে $a (x)$ এর ভাগের অবশিষ্ট $b (x)$ দ্বারা মূল্যায়ন $a (c)$ .^[১২] এই ক্ষেত্রে, ভাগফল কৃত্রিম (সিন্থেটিক) ভাগের একটি বিশেষ ক্ষেত্র, রুফিনির নিয়ম প্রয়োগ করে গণনা করা যেতে পারে। ^[১৪]

উৎপাদক

একটি অনন্য উৎপাদকীয় (উৎপাদকে বিভাজিত) ক্ষেত্রে সহগ সহ সমস্ত বহুপদী (উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যা বা একটি ক্ষেত্র)-এর একটি উৎপাদকযুক্ত আকার রয়েছে যেখানে বহুপদীকে অপরিবর্তনীয় বহুপদীর গুণফল এবং একটি ধ্রুবক হিসাবে লেখা হয়। এই গুণনীয়ক আকারটি গুণনীয়কগুলির ক্রম এবং একটি ইনভার্টেবল ধ্রুবক দ্বারা তাদের গুণ পর্যন্ত অনন্য। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের জন্য, অপরিবর্তনীয় গুণনীয়কগুলি রৈখিক। প্রকৃত সংখ্যার জন্য, তাদের মাত্রা হয় এক বা দুই। পূর্ণসংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যার জন্য অপরিবর্তনীয় উৎপাদকগুলির কোনও মাত্রা থাকতে পারে। ^[৪] উদাহরণস্বরূপ, এর গুণিত রূপ

5x^{3}-5

হল

5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)

পূর্ণসংখ্যা এবং বাস্তব জন্য, এবং

5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)

জটিল সংখ্যার জন্য।

উৎপাদকে বিভাজনের গণনাকেই উৎপাদকীয় আকার বলা হয়, সাধারণভাবে, হাতে লেখা গণনার দ্বারা করা খুব কঠিন। যাইহোক, বেশিরভাগ কম্পিউটার বীজগণিত ব্যবস্থায় দক্ষ বহুপদী ফ্যাক্টরাইজেশন (উৎপাদকে বিশ্লেষণ) অ্যালগরিদম পাওয়া যায়।

কলনবিদ্যা

অন্যান্য ধরনের অপেক্ষকের তুলনায় বহুপদীর অন্তরজ এবং সমকলন গণনা করা বিশেষভাবে সহজ।

বহুপদীর অন্তরজ $P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ $x$ এর সাপেক্ষে হল নিম্নোক্ত বহুপদী $na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.$ অনুরূপভাবে, এর সাধারণ অ্যান্টিডেরিভেটিভ (বা অনির্দিষ্ট সমকলন) $P$ হল ${\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c=c+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}x^{i+1}}{i+1}}$ যেখানে $c$ যেকোনো একটি ধ্রুবক। উদাহরণস্বরূপ, $x 2 + 1$ এর অ্যান্টিডেরিভেটিভের আকার আছে

বহুপদীর জন্য যার সহগগুলি আরও বিমূর্ত সেটিংস থেকে আসে (উদাহরণস্বরূপ, যদি সহগগুলি পূর্ণসংখ্যা হয় কোনো মৌলিক সংখ্যা $p$ , বা যেকোনো একটি বলয় (রিং)-এর উপাদান), তবে অন্তরকলনের সূত্রটি আনুষ্ঠানিকভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, সহগ $ka k$ হল $a k$ এর $k$ সংখ্যক অনুলিপির সমষ্টি। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যা মডিউল $p$ এর সাপেক্ষে, বহুপদী $x p + x$ এর অন্তরজ হল বহুপদী $1$ । ^[৪]

বহুপদী অপেক্ষক

একটি বহুপদী অপেক্ষক হল এমন একটি অপেক্ষক যা একটি বহুপদীর মূল্যায়ন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। আরও স্পষ্টভাবে বলতে গেলে, একটি প্রদত্ত ক্ষেত্র থেকে একটি আর্গুমেন্টের একটি অপেক্ষক $f$ হল একটি বহুপদী অপেক্ষক যদি একটি বহুপদী বিদ্যমান থাকে

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}

যা $f(x)$ -এর মূল্যায়ন করে, $f$ (এখানে, $n$ একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $a 0, a 1, a 2, ..., a n$ ধ্রুবক সহগ) ক্ষেত্র (ডোমেইন)-এর মধ্যে সব $x$ এর জন্য। সাধারণত, যদি অন্যরূপে নির্দিষ্ট না করা হয়, তবে বহুপদী অপেক্ষকগুলির জটিল সহগ, আর্গুমেন্ট, এবং মান রয়েছে। বিশেষ করে, একটি বহুপদীর, সহগ কেবল বাস্তব সংখ্যাতেই সীমাবদ্ধ, জটিল সংখ্যা থেকে জটিল সংখ্যা পর্যন্ত একটি অপেক্ষককে সংজ্ঞায়িত করে। যদি এই অপেক্ষকের ক্ষেত্র (ডোমেন)ও হয় সীমাবদ্ধ বাস্তবের জন্য, (প্রাপ্ত) ফলাফল অপেক্ষকটি একটি বাস্তব অপেক্ষক যা বাস্তব থেকে বাস্তব পর্যন্ত ম্যাপ করে।

উদাহরণস্বরূপ, অপেক্ষক $f$ , নিম্নোক্তরূপে সংজ্ঞায়িত

f(x)=x^{3}-x,

একটি চলরাশির একটি বহুপদী অপেক্ষক। একাধিক চলরাশির বহুপদী অপেক্ষক একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, বহুপদী যা একাধিক অনির্দিষ্ট ব্যবহার করে গঠিত, যেমন

f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7.

বহুপদী অপেক্ষকের সংজ্ঞা অনুসারে, এমন রাশি থাকতে পারে যা স্পষ্টতই বহুপদী নয় কিন্তু তবুও বহুপদী অপেক্ষককে সংজ্ঞায়িত করে। এর একটি উদাহরণ হল $\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2},$ রাশিটি যা বহুপদী হিসাবে একই মান $1-x^{2}$ নেয় $[-1,1]$ ব্যবধানে, এবং এইভাবে উভয় রাশি এই ব্যবধানে একই বহুপদী অপেক্ষককে সংজ্ঞায়িত করে।

প্রতিটি বহুপদী অপেক্ষক অবিচ্ছিন্ন, মসৃণ এবং সম্পূর্ণ ।

লেখচিত্র

একটি বাস্তব চলরাশির একটি বহুপদী অপেক্ষককে একটি লেখচিত্র দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে।

শূন্য বহুপদীটির লেখচিত্র হল
$f (x) = 0$
$x$ - অক্ষ।
একটি ০ মাত্রার বহুপদীর লেখচিত্র $f (x) = a 0$ যেখানে $a 0 \neq 0$ , একটি অনুভূমিক রেখার সঙ্গে $y$ -তে ছেদিতাংশ $a_{0}$ ( $y$ -intercept $a 0$ )
একটি ১ মাত্রার বহুপদী (বা রৈখিক অপেক্ষক)এর লেখচিত্র
$f (x) = a 0 + a 1 x$ যেখানে $a 1 \neq 0$ ,
এর সাথে একটি তির্যক রেখা $y$ -তে ছেদিতাংশ $a_{0}$ ( $y$ -intercept $a 0$ ) এবং নতি/ঢাল $a 1$ .
একটি ২ মাত্রার বহুপদী লেখচিত্র
$f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2$ যেখানে $a 2 \neq 0$
একটি অধিবৃত্ত।
একটি ৩ মাত্রার বহুপদী লেখচিত্র
$f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3$ যেখানে $a 3 \neq 0$
একটি ত্রিঘাত বক্ররেখা।
২ মাত্রা বা তার বেশি মাত্রাসহ যে কোনও বহুপদীর লেখচিত্র
$f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + \dots + a n x n$ যেখানে $a n \neq 0 এবং n \geq 2$
একটি অবিচ্ছিন্ন অ-রৈখিক বক্ররেখা।

একটি অ-ধ্রুবক বহুপদী অপেক্ষক অসীমতার দিকে প্রবণতা দেখায় যখন চলরাশিটি অনির্দিষ্টকালের জন্য (পরম মানে) বৃদ্ধি পেতে থাকে। মাত্রা একের অধিক হলে, লেখচিত্রে কোনো অ্যাসিম্পটোট থাকে না। এটির উল্লম্ব দিকে দুটি অধিবৃত্তীয় শাখা রয়েছে (একটি শাখা ধনাত্মক x এর জন্য এবং একটি ঋণাত্মক x এর জন্য)।

ইন্টারসেপ্ট, নতি/ঢাল, অবতলতা এবং অন্তিম অংশের চরিত্রকে ব্যবহার করে বহুপদী লেখ চিত্রগুলি কলনবিদ্যায় বিশ্লেষণ করা হয়।

সমীকরণ

একটি বহুপদী সমীকরণ, যাকে বীজগাণিতিক সমীকরণও বলা হয়, তা নিম্নোক্ত আকারের একটি সমীকরণ ^[১৫]

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.

উদাহরণস্বরূপ,

3x^{2}+4x-5=0

হল একটি বহুপদী সমীকরণ।

সমীকরণগুলিকে বিবেচনা করার সময়, বহুপদীগুলির অনির্দিষ্ট (চলরাশি) কে অজানা বলা হয় এবং সমাধানগুলি হল অজানাগুলির সম্ভাব্য মান যার জন্য সমতা সত্য (সাধারণত একাধিক সমাধান থাকতে পারে)। একটি বহুপদী সমীকরণ, একটি বহুপদী অভেদের বিপরীতে অবস্থান করে যেমন $(x + y)(x - y) = x 2 - y 2$ , যেখানে উভয় রাশিমালা একই বহুপদীকে ভিন্ন আকারে উপস্থাপন করে এবং ফলস্বরূপ উভয় সদস্যের যেকোনো মূল্যায়ন একটি বৈধ সমতা প্রদান করে।

প্রাথমিক বীজগণিতে, একটি চলরাশির জন্য সমস্ত প্রথম মাত্রা এবং দ্বিতীয় মাত্রার বহুপদী সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য দ্বিঘাত সূত্রের মতো পদ্ধতিগুলি শেখানো হয়। ত্রিঘাত (কিউবিক) এবং চতুর্ঘাত (কোয়ার্টিক) সমীকরণের জন্যও সূত্র রয়েছে। উচ্চতর মাত্রার জন্য, অ্যাবেল-রুফিনি উপপাদ্য দাবি করে যে মূল (র ্যাডিকেল)-এর কোনো সাধারণ সূত্র থাকতে পারে না। যদিও, মূল-অনুসন্ধানী (রুট-ফাইন্ডিং) অ্যালগরিদমগুলি যে কোনও মাত্রার বহুপদী রাশিমালার মূলের সংখ্যাসূচক অনুমান (বিশ্লেষণ) খোঁজার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।

বাস্তব সহগ সহ একটি বহুপদী সমীকরণের সমাধানের সংখ্যা মাত্রার সংখ্যার বেশি নাও হতে পারে এবং জটিল সমাধানগুলিকে তাদের গুণের সাথে গণনা করা হলে মাত্রার সংখ্যার সমান হয়। এই ঘটনাটিকে বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য বলা হয়।

সমীকরণ সমাধান

একটি অশূন্য একক-পরিবর্তনশীল বহুপদী $P$ এর একটি মূল হল $x$ এর মান $a$ , এরূপে যাতে $P (a) = 0$ । অর্থাৎ, $P$ এর একটি মূল হল বহুপদী সমীকরণ $P (x) = 0$ এর একটি সমাধান বা $P$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত বহুপদী অপেক্ষকের একটি শূন্য। শূন্য বহুপদীর ক্ষেত্রে, প্রতিটি সংখ্যা সংশ্লিষ্ট অপেক্ষকের জন্য একটি শূন্য, এবং মূলের ধারণাটি খুব কমই বিবেচনা করা হয়।

একটি বহুপদী $P$ এর একটি মূল হল একটি সংখ্যা $a$ , যদি এবং কেবল যদি রৈখিক বহুপদী $x - a$ দ্বারা $P$ বিভাজ্য (ভাগ করা সম্ভব) হয়, অর্থাৎ, যদি বহুপদী $Q$ এর মতো এমন একটি বহুপদী থাকে যাতে, $P = (x - a) Q$ হয়। এমনও হতে পারে যে $x - a$ এর একটি ঘাত ( $1$ এর বেশি) দ্বারা $P$ বিভাজ্য (ভাগ করা সম্ভব) হয়; এই ক্ষেত্রে, $a$ হল $P$ এর একাধিক মূল, এবং নতুবা $a$ হল $P$ এর একটি সরল মূল। যদি $P$ একটি অশূন্য বহুপদী হয়, তাহলে এমন একটি সর্বোচ্চ ঘাত $m$ থাকবে যাতে $(x - a) m$ দ্বারা $P$ বিভাজ্য (ভাগ করা সম্ভব) হয়, যাকে $P$ এর মূল হিসাবে $a$ এর গুণিতকতা বলা হয়। একটি অশূন্য বহুপদী $P$ এর মূলের সংখ্যা, তাদের নিজ নিজ গুণিতকতার মাধ্যমে গণনা করা হয়, যা $P$ এর মাত্রার অধিক হতে পারে না,^[১৬] এবং যদি সমস্ত জটিল মূল বিবেচনা করা হলে এটি $P$ এর মাত্রার সমান হবে (এটি বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের ফলাফল)। একটি বহুপদীর সহগ এবং এর মূলগুলি ভিয়েটার সূত্র দ্বারা সম্পর্কিত।

কিছু বহুপদী, যেমন $x 2 + 1$ এর বাস্তব কোনো মূল নেই অর্থাৎ, কোনো বাস্তব সংখ্যা এর মূল নয়। তৎসত্ত্বেও, যদি গৃহীত সমাধানের সেট জটিল সংখ্যায় প্রসারিত করা হয়, তবে প্রতিটি অ-ধ্রুবক বহুপদীর অন্তত একটি মূল থাকে; এটি বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য । ক্রমাগতভাবে $x - a$ গুণনীয়কগুলিকে ভাগ করা যায় তবে দেখা যাবে যে, জটিল সহগ সহ যেকোনো বহুপদীকে একটি ধ্রুবক (এর অগ্রণী সহগ) এবং ১ মাত্রার এই জাতীয় বহুপদী গুণকের গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারে।; ফলস্বরূপ, (জটিল) মূলের সংখ্যা তাদের গুণিতকতার সাথে গণনা করা হয় যা বহুপদীর মাত্রার হুবহু সমান।

"একটি সমীকরণ সমাধান" এর বিভিন্ন অর্থ হতে পারে। কেউ হয়তো সমাধানগুলোকে সুস্পষ্ট সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করতে চাইবে; উদাহরণস্বরূপ, $2 x - 1 = 0$ এর অনন্য সমাধান হল ১/২ ( $1/2$ ). দুর্ভাগ্যবশত, এটি সাধারণত, একের বেশি মাত্রার সমীকরণের জন্য অসম্ভব, এবং, প্রাচীন কাল থেকে, গণিতবিদরা বীজগাণিতিক রাশিমালা হিসাবে সমাধানগুলিকে প্রকাশ করার জন্য অনুসন্ধান চালিয়েছেন; উদাহরণস্বরূপ, $x^{2}-x-1=0$ এর অনন্য ইতিবাচক সমাধান হল সোনালী অনুপাত $(1+{\sqrt {5}})/2$ . প্রাচীনকালে, তারা কেবল এক এবং দুই মাত্রার সমীকরণের সমাধান করতে সফল হয়েছিলেন। দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য, দ্বিঘাত সূত্র সমাধানগুলির এই ধরনের রাশিমালা প্রদান করে। ষোড়শ শতক থেকে, অনুরূপ সূত্রগুলি (বর্গমূল ছাড়াও ঘনমূল ব্যবহার করে), যদিও অনেক বেশি জটিল, তিন মাত্রা এবং চার মাত্রার সমীকরণের জন্য পরিচিত হয়(দেখুন ত্রিঘাত সমীকরণ এবং চতুর্ঘাত (কোয়ার্টিক) সমীকরণ)। কিন্তু ৫ মাত্রার এবং উচ্চতর মাত্রার সমীকরণ সমাধানের জন্য সূত্রগুলি কয়েক শতাব্দী ধরে গবেষকরা এড়িয়ে গেছেন। ১৮২৪ সালে, নিল্‌স হেনরিক আবেল আকর্ষণীয় ফলাফল দ্বারা প্রমাণ করেছিলেন যে ৫ মাত্রার সমীকরণ রয়েছে যাদের সমাধানগুলি একটি (সীমিত) সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা যায় না, শুধুমাত্র গাণিতিক প্রক্রিয়া এবং মূল (র ্যাডিকেল)-গুলির সাথে জড়িত (এবেল-রুফিনির উপপাদ্য দেখুন)। ১৮৩০ সালে, এভারিস্ত গ্যালোয়া প্রমাণ করেছিলেন যে চারটির বেশি ডিগ্রির বেশিরভাগ সমীকরণ মূল (র ্যাডিকেল) দ্বারা সমাধান করা যায় না, এবং দেখিয়েছিলেন যে প্রতিটি সমীকরণের জন্য, কেউ বিচার করতে পারে যে এটি মূল (র ্যাডিকেল)-এর দ্বারা সমাধানযোগ্য কিনা, এবং যদি তা হয় তবে তার সমাধান করতে পারে। এই ফলাফলটি আধুনিক বীজগণিতের দুটি গুরুত্বপূর্ণ শাখা গ্যালোয়ার তত্ত্ব এবং গোষ্ঠী তত্ত্বের সূচনা করেছে। গ্যালোয়া নিজেই উল্লেখ করেছেন যে তার পদ্ধতি দ্বারা সূচিত গণনাগুলি অব্যবহার্য/দুষ্কর তথা অসাধ্য ছিল। তথাপি, ৫ এবং ৬ মাত্রার সমাধানযোগ্য সমীকরণের সূত্র প্রকাশ করা হয়েছে (পঞ্চমাত্রিক অপেক্ষক (কুইন্টিক ফাংশন) এবং ষড়মাত্রিক (সেক্সটিক) সমীকরণ দেখুন)।

যখন মূলের জন্য কোনো বীজগাণিতিক রাশি থাকে না, এবং যখন এই জাতীয় বীজগাণিতিক রাশি বিদ্যমান থাকে কিন্তু অত্যন্ত জটিল হওয়ায় এটি ব্যবহার্য নয়, তখন এটি সমাধানের অনন্য উপায় হল সমাধানগুলির সাংখ্য়িক বিশ্লেষণ/সংখ্যাগত অনুমান নির্ণয় করে গণনা করা। ^[১৭] এর জন্য অনেক পদ্ধতি আছে; কিছু বহুপদীতে সীমাবদ্ধ এবং অন্যগুলি যেকোনো সন্তত (অবিচ্ছিন্ন) অপেক্ষকের জন্য প্রযোজ্য হতে পারে। সবচেয়ে কার্যকর অ্যালগরিদমগুলি সহজে (কম্পিউটারে) ১,০০০-এর বেশি মাত্রার বহুপদী সমীকরণের সমাধান করতে সক্ষম (মূল-অনুসন্ধানী (রুট-ফাইন্ডিং) অ্যালগরিদম দেখুন)।

একাধিক অনির্দিষ্টসহ বহুপদীর ক্ষেত্রে, বহুপদী অপেক্ষকটি যে চলরাশির জন্য মানের সংমিশ্রণে তার শূন্য হয়ে যায় তাকে সাধারণত "মূল" এর পরিবর্তে শূন্য বলা হয়। বহুপদীর শূন্যের সেটের অধ্যয়ন হল বীজগাণিতিক জ্যামিতির বিষয়বস্তু। অনেকগুলি অজ্ঞাত সহ বহুপদী সমীকরণের একটি গুচ্ছ (সেট)-এর ক্ষেত্রে, সমাধানগুলি গণনার জন্য তাদের একটি সীমিত সংখ্যক জটিল সমাধান আছে কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য এবং, যদি এই সংখ্যাটি সসীম হয় তবে সমাধানগুলি গণনা করার জন্য অ্যালগরিদম রয়েছে। বহুপদী সমীকরণের সিস্টেম দেখুন।

বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে সমস্ত বহুপদী এক মাত্রার হয় তাকে রৈখিক সমীকরণের একটি ব্যবস্থা বলা হয়, যার জন্য ক্লাসিক্যাল গাউসিয়ান অপনয়ন সহ বিভিন্ন সমাধান পদ্ধতির আরেকটি পরিসর বিদ্যমান।

একটি বহুপদী সমীকরণ, যেটির শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার সমাধানগুলি নির্ণয়ের জন্য কেউ আগ্রহী হলে সমীকরণটিকে ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ বলে। ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণগুলি সমাধান করা সাধারণত একটি খুব কঠিন কাজ। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে তাদের সমাধানের জন্য, এমনকি সমাধানের সেটটি খালি কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য কোনো একটি সাধারণ অ্যালগরিদম থাকতে পারে না (হিলবার্টের দশম সমস্যা দেখুন)। গত পঞ্চাশ বছরে সমাধান করা কিছু বিখ্যাত সমস্যা ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত, যেমন ফের্মার শেষ উপপাদ্য।

বহুপদী রাশিমালা

বহুপদী হল অনির্দিষ্ট যেখানে কিছু গাণিতিক বিষয়বস্তুর সাথে প্রতিস্থাপিত হওয়ার জন্য এটি প্রায়ই বিবেচিত হয়, এবং কখনও কখনও এর একটি বিশেষ নাম থাকে।

ত্রিকোণমিতিক বহুপদী

একটি ত্রিকোণমিতিক বহুপদী হল অপেক্ষক sin(nx) এবং cos(nx) এর একটি সসীম রৈখিক সংমিশ্রণ যেখানে n এক বা একাধিক প্রাকৃতিক সংখ্যার মান গ্রহণ করতে পারে। ^[১৮] বাস্তব-মানের অপেক্ষকের জন্য সহগগুলিকে বাস্তব সংখ্যা হিসাবে ধরে নেওয়া যেতে পারে।

যদি sin(nx) এবং cos(nx) এই দুটিকে sin(x) এবং cos(x) এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রসারিত হয়, তাহলে একটি ত্রিকোণমিতিক বহুপদী দুটি চলরাশি sin(x) এবং cos(x) (ত্রিকোণমিতিক অভেদের তালিকা ব্যবহার করে#একাধিক-কোণের সূত্র) সমন্বিত বহুপদীতে পরিণত হয়। বিপরীতভাবে, sin(x) এবং cos(x) এর প্রতিটি বহুপদীকে, গুণফল-থেকে-সমষ্টি অভেদের সাহায্য়ে, sin(nx) এবং cos(nx) অপেক্ষকের একটি রৈখিক সংমিশ্রণে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। এই সমতা ব্যাখ্যা করে কেন রৈখিক সংমিশ্রণকে বহুপদী বলা হয়।

জটিল সহগগুলির জন্য, এই ধরনের একটি অপেক্ষক এবং একটি সসীম ফুরিয়ার শ্রেণি (ধারা)-এর মধ্যে কোনও পার্থক্য নেই।

ত্রিকোণমিতিক বহুপদী ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ ত্রিকোণমিতিক প্রক্ষেপণ (ইন্টারপোলেশন)-এ পর্যাবৃত্ত অপেক্ষকগুলির প্রক্ষেপণ (ইন্টারপোলেশন)-এ প্রয়োগ করা হয়। এগুলি বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তরেও ব্যবহৃত হয়।

ম্যাট্রিক্স বহুপদী

একটি ম্যাট্রিক্স বহুপদী হল এমন একটি বহুপদী যার বর্গাকার ম্যাট্রিসগুলি চলরাশি হিসাবে থাকে। ^[১৯] একটি সাধারণ, স্কেলার-মানের বহুপদী নীচে দেওয়া হয়েছে

P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},

একটি ম্যাট্রিক্স A -তে মূল্যায়ন করা এই বহুপদী হল

P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},

যেখানে I হল একটি একক ম্যাট্রিক্স । ^[২০]

একটি ম্যাট্রিক্স বহুপদী সমীকরণ হল দুটি ম্যাট্রিক্স বহুপদীর মধ্যে একটি সমতা, যা প্রশ্নে নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের জন্য সিদ্ধ হয়। একটি ম্যাট্রিক্স বহুপদী অভেদ হল একটি ম্যাট্রিক্স বহুপদী সমীকরণ যা একটি নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স বলয় (রিং) M_n (R) এ সমস্ত ম্যাট্রিক্স A এর জন্য সিদ্ধ হয়।

সূচকীয় বহুপদী

একটি দ্বি-পরিবর্তনশীল (বাইভারিয়েট) বহুপদী যেখানে দ্বিতীয় চলরাশিটি প্রথম চলরাশির প্রয়োগকৃত সূচকীয় অপেক্ষক দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, উদাহরণস্বরূপ $P (x, e x)$ -কে, একটি সূচকীয় বহুপদী বলা যেতে পারে।

বহুপদী বলয়

একটি পরিবর্তনশীল বলয় (কম্যুটেটিভ রিং) $R$ এর জন্য একটি বহুপদী $f$ হল এমন একটি বহুপদী যার সমস্ত সহগ $R$ এর অন্তর্গত। এটি যাচাই করা সহজ যে $R$ এর জন্য অনির্দিষ্টের সেটের বহুপদীগুলি একটি পরিবর্তনমূলক বলয় গঠন করে, এই অনির্দিষ্টগুলিতে বহুপদী বলয় (রিং) বলা হয়, এবং একে একক-পরিবর্তনশীল (ইউনিভ্যারিয়েট) ক্ষেত্রে $R[x]$ এবং বহু-পরিবর্তনশীল (মাল্টিভেরিয়েট) ক্ষেত্রে $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

যদি কারোর নিম্নোক্তটি থাকে

R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\left(R[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]\right)[x_{n}].

সুতরাং, বহু-পরিবর্তনশীল (মাল্টিভেরিয়েট) ক্ষেত্রের বেশিরভাগ তত্ত্বকে একটি পুনরাবৃত্ত একক-পরিবর্তনশীল (ইউনিভ্যারিয়েট) ক্ষেত্রে হ্রাস করা যেতে পারে।

$R$ থেকে $R [x]$ এ $r$ কে এটিতে পাঠানোর ম্যাপ একটি ধ্রুবক বহুপদী হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং এটি একটি ইনজেক্টিভ রিং হোমোমর্ফিজম, যার দ্বারা $R$ কে $R [x]$ এর একটি উপবলয় (সাব-রিং) হিসাবে দেখা হয়। বিশেষ করে, $R [x]$ হল $R$ এর উপরে একটি বীজগণিত।

$R$ এর সাথে একটি নতুন উপাদান x যোগ করে R থেকে উদ্ভূত রিং হিসাবে $R [x]$ কে ভাবা যেতে পারে, এবং একটি ন্যূনতম উপায়ে একটি রিং পর্যন্ত প্রসারিত করতে পারে যেখানে $x$ আবশ্যিক ছাড়া অন্য কোনো সম্বন্ধকে সন্তুষ্ট করে না, পাশাপাশি $R$ এর সমস্ত উপাদানের সাথে কম্যুটেশন (অর্থাৎ $xr = rx$ )। এটি করার জন্য, কাউকে অবশ্যই $x$ এর সমস্ত ঘাত এবং তাদের রৈখিক সমন্বয়কে যোগ করতে হবে।

বহুপদী বলয় (রিং) গঠন, আদর্শের ফ্যাক্টর করে ফ্যাক্টর বলয় (রিং) গঠনের সাথে, পরিচিত বলয় (রিং)-গুলির বাইরে নতুন বলয় (রিং) তৈরির জন্য গুরুত্বপূর্ণ সাধনী। উদাহরণস্বরূপ, জটিল সংখ্যার বলয় (রিং) (প্রকৃতপক্ষে ক্ষেত্র), যা বহুপদী বলয় (রিং) $R [x]$ থেকে বহুপদী $x 2 + 1$ এর গুণিতকের বাস্তব সংখ্যার উপর আদর্শ নির্ণয় করে তৈরি করা যেতে পারে। আরেকটি উদাহরণ হল সসীম ক্ষেত্রগুলির নির্মাণ, যা অনুরূপভাবে এগিয়ে যায়, পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্র দিয়ে শুরু করে কিছু মৌলিক সংখ্যাকে সহগ বলয় (রিং) $R$ হিসাবে (মডুলার পাটীগণিত দেখুন)।

$R$ যদি বিনিময়যোগ্য (কম্যুটেটিভ) হয়, তাহলে $R [x]$ এ প্রতিটি বহুপদী $P$ এর সাথে একটি বহুপদী অপেক্ষক, ক্ষেত্র (ডোমেন) $f$ এবং $R$ এর সমান প্রসারের সাথে যুক্ত হতে পারে। (আরো সাধারণভাবে, কেউ $R$ এর উপর একই একক সহযোগী বীজগণিত হতে ক্ষেত্র (ডোমেইন) এবং প্রসার (পরিসর) নিতে পারে।) $P$ তে $x$ চিহ্নের জায়গায় $r$ মান প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে $f (r)$ -এর মান নির্ণয় করা যায়। বহুপদী এবং বহুপদী অপেক্ষকের মধ্যে পার্থক্য করার একটি কারণ হল এই যে, কিছু বলয় (রিং)-এর উপর, বিভিন্ন বহুপদী একই বহুপদী অপেক্ষক সৃষ্টি করতে পারে (উদাহরণস্বরূপ ফার্ম্যাটের সামান্য উপপাদ্য দেখুন যেখানে $R$ হল পূর্ণসংখ্যার মডুলো $p$ )। $R$ বাস্তব বা জটিল সংখ্যা হলে, সে ক্ষেত্রে, যেখান থেকে বিশ্লেষণে দুটি ধারণাকে সর্বদা আলাদা করা হয় না। বহুপদী এবং বহুপদী অপেক্ষকের মধ্যে পার্থক্য করার একটি আরও গুরুত্বপূর্ণ কারণ হল যে বহুপদীর উপর অনেকগুলি প্রক্রিয়া (যেমন ইউক্লিডীয় বিভাগ) $x$ এর কিছু ধ্রুবক মানের জন্য মূল্যায়ন না করে একটি রাশিমালা হিসাবে একটি বহুপদী কী দিয়ে গঠিত তা দেখার প্রয়োজন হয়।

বিভাজ্যতা

যদি $R$ একটি অখণ্ড ক্ষেত্র হয় এবং $f$ এবং $g$ $R [x]$ এ বহুপদী হয়, তাহলে বলা হয় যে $f$ , $g$ -কে ভাগ করে বা $f$ হল $g$ এর ভাজক যদি $R [x]$ এ একটি এরূপ বহুপদী $q$ থাকে যাতে $f q = g$ হয়। যদি $a\in R,$ তাহলে $a$ হল $f$ এর একটি মূল যদি এবং কেবল $x-a$ , $f$ -কে ভাগ করে অর্থাৎ, $x-a$ দ্বারা $f$ বিভাজ্য। এই ক্ষেত্রে, বহুপদী দীর্ঘ বিভাজন ব্যবহার করে ভাগফল গণনা করা যেতে পারে। ^[২১]^[২২]

যদি $F$ একটি ক্ষেত্র হয় এবং $F [x]$ -এ $f$ এবং $g$ বহুপদী হয় যেখানে $g \neq 0$ , তাহলে $F [x]$ এ অনন্য বহুপদী $q$ এবং $r$ রয়েছে

f=q\,g+r

এবং যাতে $r$ এর মাত্রা $g$ এর মাত্রার থেকে কম হয় (বহুপদী ০-এর একটি ঋণাত্মক মাত্রা আছে এই নিয়ম ব্যবহার করে)। বহুপদী $q$ এবং $r$ স্বতন্ত্রভাবে $f$ এবং $g$ দ্বারা নির্ধারিত হয়। একে ইউক্লিডীয় বিভাগ বলা হয়, অবশিষ্টের সাথে ভাগ বা বহুপদী দীর্ঘ বিভাজনের এবং দেখায় যে বলয় (রিং) $F [x]$ একটি ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র (ডোমেইন)।

অনুরূপভাবে, মৌলিক বহুপদী (আরো সঠিকভাবে, অপরিবর্তনীয় বহুপদী ) যাদের দু'টি অ-ধ্রুবক বহুপদীর গুণফলের আকারে উৎপাদকে বিশ্লেষিত করা যায় না এমন অ-শূন্য বহুপদী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি বলয় (রিং)-এর সহগগুলির ক্ষেত্রে, "অ-ধ্রুবক"-কে অবশ্যই "অ-ধ্রুবক বা অ-একক" (উভয় সংজ্ঞা একটি ক্ষেত্রের সহগের জন্য সম্মত হয়) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করতে হবে। যেকোনো বহুপদীকে অপরিবর্তনীয় বহুপদীর গুণফল দ্বারা একটি বিপরীতকরণযোগ্য ধ্রুবকের গুণফলে বিযোজিত করা যেতে পারে। যদি সহগগুলি একটি ক্ষেত্র বা একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন (উৎপাদকে বিশ্লেষণ) ডোমেনের অন্তর্গত হয় তবে এই বিযোজনটি উৎপাদকগুলির ক্রম এবং যেকোনো অ-একক উৎপাদক এবং একটি একক (এবং একই একক দ্বারা একক উৎপাদকের বিভাজন) দ্বারা গুণন পর্যন্ত অনন্য। যখন সহগগুলি পূর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখ্যা বা একটি সসীম ক্ষেত্রের অন্তর্গত হয়, তখন অপরিবর্তনশীলতা পরীক্ষা করার জন্য এবং অপরিবর্তনশীল বহুপদীতে ফ্যাক্টরাইজেশন গণনা করার জন্য অ্যালগরিদম রয়েছে ( বহুপদীগুলির ফ্যাক্টরাইজেশন দেখুন)। এই অ্যালগরিদমগুলি হাতে লিখিত গণনার জন্য ব্যবহারযোগ্য নয়, তবে যেকোনো কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেমে উপলব্ধ। আইজেনস্টাইনের মানদণ্ডও কিছু ক্ষেত্রে অপরিবর্তনশীলতা নির্ধারণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।

প্রয়োগ

অবস্থানগত প্রতীক

আধুনিক অবস্থানগত সংখ্যা পদ্ধতিতে, যেমন দশমিক পদ্ধতিতে, একটি পূর্ণসংখ্যার উপস্থাপনার ক্ষেত্রে অঙ্ক এবং তাদের অবস্থান, উদাহরণস্বরূপ, ৪৫ (45), নিধান বা ভিত্তির একটি বহুপদীর জন্য একটি সংক্ষিপ্ত প্রতীক, এই ক্ষেত্রে, 4 × 10¹ + 5 × 10⁰ । আরেকটি উদাহরণ হিসাবে, নিধান ৫ (5)-এ, ১৩২ (132) এর মতো অঙ্কের একটি স্ট্রিং (দশমিক) সংখ্যা 1 × 5² + 3 × 5¹ + 2 × 5⁰ = ৪২ (42) নির্দেশ করে। এই উপস্থাপনাটি অনন্য। ধরা যাক b একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ১ এর চেয়ে বড়। তারপর প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a আকারে অনন্যভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},

যেখানে m একটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং r-গুলি (r's) পূর্ণসংখ্যা যেমন

0 < r m < b

and

0 \leq r i < b

for

i = 0, 1, . . . , m - 1

.^[২৩]

প্রক্ষেপণ এবং অনুমান

বহুপদী অপেক্ষকের সরল গঠন বহুপদীর আনুমানিক হিসাব ব্যবহার করে সাধারণ অপেক্ষকের বিশ্লেষণের জন্য তাদের বেশ উপযোগী করে তোলে। কলনবিদ্যার একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হল টেলরের উপপাদ্য, যা মোটামুটিভাবে বলে যে প্রতিটি অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষক স্থানীয়ভাবে একটি বহুপদী অপেক্ষকের মতো দেখায়, এবং স্টোন-ওয়েয়ারস্ট্রাস উপপাদ্য, যা বিবৃত করে, বাস্তব অক্ষের একটি সন্নিবিষ্ট (কম্প্যাক্ট) ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত প্রতিটি সন্তত (অবিচ্ছিন্ন) অপেক্ষক আনুমানিক একটি বহুপদী অপেক্ষক দ্বারা সমগ্র ব্যবধানে যতটা ঘনিষ্ঠভাবে কাঙ্ক্ষিত, ধরা যেতে পারে। আনুমানিক হিসাবের ব্যবহারিক পদ্ধতির মধ্যে রয়েছে বহুপদী প্রক্ষেপণ (ইন্টারপোলেশন) এবং স্প্লাইনের ব্যবহার। ^[২৪]

অন্যান্য প্রয়োগ

বহুপদীগুলি প্রায়শই অন্য কোনও বিষয়বস্তু সম্পর্কে তথ্য সঙ্কেতাক্ষরে লিখতে (এনকোড করতে) ব্যবহৃত হয়। একটি ম্যাট্রিক্স বা রৈখিক চালক (অপারেটর)-এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদীতে অপারেটরের আইগেনভ্যালু সম্পর্কিত তথ্য থাকে। একটি বীজগাণিতিক উপাদানের ন্যূনতম বহুপদী সেই উপাদান দ্বারা সিদ্ধ হয় এমন সরলতম বীজগাণিতিক সম্পর্ক নথিবদ্ধ করে। একটি চিত্রলেখ (গ্রাফ)-এর রঙিন/বর্ণীয় বহুপদী সেই লেখচিত্রের সঠিক রঙের সংখ্যা গণনা করে।

"বহুপদী" পরিভাষাটি একটি বিশেষণ হিসাবে, রাশিমালা বা অপেক্ষকের জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে যা বহুপদী আকারে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পরিগণনামূলক জটিলতা তত্ত্বে বহুপদী সময় শব্দগুচ্ছের অর্থ হল একটি অ্যালগরিদম সম্পূর্ণ করতে যে সময় লাগে তা কিছু চলরাশির বহুপদী অপেক্ষক দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়, যেমন ইনপুটের আকার।

ইতিহাস

বহুপদীর মূল নির্ণয় করা, বা "বীজগাণিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করা", গণিতের প্রাচীনতম সমস্যাগুলির মধ্যে একটি। যাইহোক, আমরা আজকাল যে মার্জিত এবং ব্যবহারিক প্রতীক ব্যবহার করি তা কেবল ১৫ শতকের শুরুতে বিকশিত হয়েছিল। তার আগে, সমীকরণগুলি কথায় লেখা হত। উদাহরণস্বরূপ, নয় অধ্যায়ের চীনা পাটিগণিতের বীজগণিতের একটি সমস্যা, আনুমানিক ২০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দে, শুরু হয় "ভাল ফসলের তিনটি আঁটি, মাঝারি ফসলের দুটি আঁটি এবং খারাপ ফসলের একটি ২৯ ডাউতে বিক্রি হয়।" আমরা $3 x + 2 y + z = 29$ লিখব।

প্রতীকের ইতিহাস

রবার্ট রেকর্ডের দ্য ওয়েটস্টোন অফ উইট্টে, ১৫৫৭-তে সমান চিহ্নের প্রথম পরিচিত ব্যবহার রয়েছে। মাইকেল স্টিফেলের অ্যারিথেমেটিকা ইন্টিগ্রা, ১৫৪৪-এ + চিহ্ন যোগের জন্য, বিয়োগের জন্য − এবং একটি অজানার জন্য একটি অক্ষরের ব্যবহার দেখা যায়। রেনে দেকার্ত (René Descartes), La géometrie, ১৬৩৭-এ, বহুপদী সমীকরণের লেখচিত্রের ধারণা প্রবর্তন করেন। তিনি বর্ণমালার শুরু থেকে ধ্রুবক এবং চলরাশি বোঝাতে বর্ণমালার শেষ থেকে বর্ণের ব্যবহার জনপ্রিয় করে তোলেন, যেমনটি উপরে দেখা যায়, একটি চলকের মধ্যে বহুপদীর সাধারণ সূত্রে, যেখানে $a$ 's ধ্রুবক বোঝায় এবং $x$ একটি চলরাশি বোঝায়। দেকার্তে সূচকগুলি বোঝাতে শীর্ষ-লিখন (সুপারস্ক্রিপ্ট)-এর ব্যবহার চালু করেছিলেন। ^[২৫]

আরও দেখুন

উলট বহুপদী বিষয়ের তালিকা

তথ্যসূত্র

↑ I Fill This Small Space। Gallaudet University Press। ২০০৯-০৯-৩০। পৃষ্ঠা 76–78।
↑ ^ক ^খ Weisstein, Eric W.। "Polynomial"। mathworld.wolfram.com (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৮-২৮।
↑ ^ক ^খ "Polynomials | Brilliant Math & Science Wiki"। brilliant.org (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৮-২৮।
↑ ^ক ^খ ^গ ^ঘ ^ঙ Barbeau 2003
↑ Edwards 1995
↑ ^ক ^খ ^গ Edwards, Harold M. (১৯৯৫)। Linear Algebra। Springer। পৃষ্ঠা 47। আইএসবিএন 978-0-8176-3731-6।
↑ Salomon, David (২০০৬)। Coding for Data and Computer Communications। Springer। পৃষ্ঠা 459। আইএসবিএন 978-0-387-23804-3।
↑ ^ক ^খ Introduction to Algebra (ইংরেজি ভাষায়)। Yale University Press। ১৯৬৫। পৃষ্ঠা 621।
↑ Kriete, Hartje (১৯৯৮-০৫-২০)। Progress in Holomorphic Dynamics (ইংরেজি ভাষায়)। CRC Press। পৃষ্ঠা 159। আইএসবিএন 978-0-582-32388-9।
↑ Marecek, Lynn; Mathis, Andrea Honeycutt (৬ মে ২০২০)। Intermediate Algebra 2e। OpenStax। §7.1।
↑ Haylock, Derek; Cockburn, Anne D. (২০০৮-১০-১৪)। Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers (ইংরেজি ভাষায়)। SAGE। পৃষ্ঠা 49। আইএসবিএন 978-1-4462-0497-9।
↑ ^ক ^খ Marecek ও Mathis 2020
↑ Selby, Peter H.; Slavin, Steve (১৯৯১)। Practical Algebra: A Self-Teaching Guide (2nd সংস্করণ)। Wiley। আইএসবিএন 978-0-471-53012-1।
↑ Weisstein, Eric W.। "Ruffini's Rule"। mathworld.wolfram.com (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৭-২৫।
↑ Proskuryakov, I.V. (১৯৯৪)। "Algebraic equation"। Encyclopaedia of Mathematics। Springer। আইএসবিএন 978-1-55608-010-4।
↑ Leung, Kam-tim (১৯৯২)। Polynomials and Equations। Hong Kong University Press। পৃষ্ঠা 134। আইএসবিএন 9789622092716।
↑ McNamee, J.M. (২০০৭)। Numerical Methods for Roots of Polynomials, Part 1। Elsevier। আইএসবিএন 978-0-08-048947-6।
↑ Powell, Michael J. D. (১৯৮১)। Approximation Theory and Methods। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-29514-7।
↑ Gohberg, Israel; Lancaster, Peter (২০০৯)। Matrix Polynomials। Classics in Applied Mathematics। Society for Industrial and Applied Mathematics। Zbl 1170.15300। আইএসবিএন 978-0-89871-681-8।
↑ Horn ও Johnson 1990।
↑ Irving, Ronald S. (২০০৪)। Integers, Polynomials, and Rings: A Course in Algebra। Springer। পৃষ্ঠা 129। আইএসবিএন 978-0-387-20172-6।
↑ Jackson, Terrence H. (১৯৯৫)। From Polynomials to Sums of Squares। CRC Press। পৃষ্ঠা 143। আইএসবিএন 978-0-7503-0329-3।
↑ McCoy 1968
↑ de Villiers, Johann (২০১২)। Mathematics of Approximation। Springer। আইএসবিএন 9789491216503।
↑ Eves, Howard (১৯৯০)। An Introduction to the History of Mathematics (6th সংস্করণ)। Saunders। আইএসবিএন 0-03-029558-0।

↑ The coefficient of a term may be any number from a specified set. If that set is the set of real numbers, we speak of "polynomials over the reals". Other common kinds of polynomials are polynomials with integer coefficients, polynomials with complex coefficients, and polynomials with coefficients that are integers modulo some prime number $p$ .
↑ This terminology dates from the time when the distinction was not clear between a polynomial and the function that it defines: a constant term and a constant polynomial define constant functions.^{[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]}
↑ In fact, as a homogeneous function, it is homogeneous of every degree.^{[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]}
↑ Some authors use "monomial" to mean "monic monomial". See Knapp, Anthony W. (২০০৭)। Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra। Springer। পৃষ্ঠা 457। আইএসবিএন 978-0-8176-4522-9।
↑ This paragraph assumes that the polynomials have coefficients in a field.

বহিঃসংযোগ

Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Polynomial", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4
"Euler's Investigations on the Roots of Equations"। সেপ্টেম্বর ২৪, ২০১২ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা।

টেমপ্লেট:Polynomials

[1] I Fill This Small Space। Gallaudet University Press। ২০০৯-০৯-৩০। পৃষ্ঠা 76–78।

[:1-2] ক ^খ Weisstein, Eric W.। "Polynomial"। mathworld.wolfram.com (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৮-২৮।

[:2-4] ক ^খ "Polynomials | Brilliant Math & Science Wiki"। brilliant.org (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৮-২৮।

[Barbeau-2003-pp64-65-6] ক ^খ ^গ ^ঘ ^ঙ Barbeau 2003

[8] Edwards 1995

[Edwards-1995-p47-9] ক ^খ ^গ Edwards, Harold M. (১৯৯৫)। Linear Algebra। Springer। পৃষ্ঠা 47। আইএসবিএন 978-0-8176-3731-6।

[11] Salomon, David (২০০৬)। Coding for Data and Computer Communications। Springer। পৃষ্ঠা 459। আইএসবিএন 978-0-387-23804-3।

[:0-12] ক ^খ Introduction to Algebra (ইংরেজি ভাষায়)। Yale University Press। ১৯৬৫। পৃষ্ঠা 621।

[13] Kriete, Hartje (১৯৯৮-০৫-২০)। Progress in Holomorphic Dynamics (ইংরেজি ভাষায়)। CRC Press। পৃষ্ঠা 159। আইএসবিএন 978-0-582-32388-9।

[14] Marecek, Lynn; Mathis, Andrea Honeycutt (৬ মে ২০২০)। Intermediate Algebra 2e। OpenStax। §7.1।

[15] Haylock, Derek; Cockburn, Anne D. (২০০৮-১০-১৪)। Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers (ইংরেজি ভাষায়)। SAGE। পৃষ্ঠা 49। আইএসবিএন 978-1-4462-0497-9।

[openstax-16] ক ^খ Marecek ও Mathis 2020

[18] Selby, Peter H.; Slavin, Steve (১৯৯১)। Practical Algebra: A Self-Teaching Guide (2nd সংস্করণ)। Wiley। আইএসবিএন 978-0-471-53012-1।

[19] Weisstein, Eric W.। "Ruffini's Rule"। mathworld.wolfram.com (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৭-২৫।

[20] Proskuryakov, I.V. (১৯৯৪)। "Algebraic equation"। Encyclopaedia of Mathematics। Springer। আইএসবিএন 978-1-55608-010-4।

[21] Leung, Kam-tim (১৯৯২)। Polynomials and Equations। Hong Kong University Press। পৃষ্ঠা 134। আইএসবিএন 9789622092716।

[22] McNamee, J.M. (২০০৭)। Numerical Methods for Roots of Polynomials, Part 1। Elsevier। আইএসবিএন 978-0-08-048947-6।

[23] Powell, Michael J. D. (১৯৮১)। Approximation Theory and Methods। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-29514-7।

[24] Gohberg, Israel; Lancaster, Peter (২০০৯)। Matrix Polynomials। Classics in Applied Mathematics। Society for Industrial and Applied Mathematics। Zbl 1170.15300। আইএসবিএন 978-0-89871-681-8।

[FOOTNOTEHornJohnson1990-25] Horn ও Johnson 1990।

[26] Irving, Ronald S. (২০০৪)। Integers, Polynomials, and Rings: A Course in Algebra। Springer। পৃষ্ঠা 129। আইএসবিএন 978-0-387-20172-6।

[27] Jackson, Terrence H. (১৯৯৫)। From Polynomials to Sums of Squares। CRC Press। পৃষ্ঠা 143। আইএসবিএন 978-0-7503-0329-3।

[28] McCoy 1968

[29] Villiers, Johann (২০১২)। Mathematics of Approximation। Springer। আইএসবিএন 9789491216503।

[30] Eves, Howard (১৯৯০)। An Introduction to the History of Mathematics (6th সংস্করণ)। Saunders। আইএসবিএন 0-03-029558-0।

[3] The coefficient of a term may be any number from a specified set. If that set is the set of real numbers, we speak of "polynomials over the reals". Other common kinds of polynomials are polynomials with integer coefficients, polynomials with complex coefficients, and polynomials with coefficients that are integers modulo some prime number $p$ .

[5] This terminology dates from the time when the distinction was not clear between a polynomial and the function that it defines: a constant term and a constant polynomial define constant functions.^{[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]}

[7] In fact, as a homogeneous function, it is homogeneous of every degree.^{[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]}

[10] Some authors use "monomial" to mean "monic monomial". See Knapp, Anthony W. (২০০৭)। Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra। Springer। পৃষ্ঠা 457। আইএসবিএন 978-0-8176-4522-9।

[17] This paragraph assumes that the polynomials have coefficients in a field.

[১]

[২]

[ক]

[৩]

[খ]

[৪]

[গ]

[৫]

[৬]

[ঘ]

[৭]

[৮]

[৯]

[১০]

[১১]

[১২]

[ঙ]

[১৩]

[১৪]

[১৫]

[১৬]

[১৭]

[১৮]

[১৯]

[২০]

[২১]

[২২]

[২৩]

[২৪]

[২৫]