অনিশ্চয়তা নীতি

অনিশ্চয়তা‌ নীতি, যা হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি নামেও পরিচিত, কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের এক মৌলিক ধারণা। এই নীতি অনুযায়ী, কোনো একজোড়া ভৌত রাশির মান, যেমন অবস্থান ও ভরবেগ, একই সঙ্গে জানা থাকলে তাদের পরিমাপ একটি নির্দিষ্ট সীমা পর্যন্ত নির্ভুল হয়। অন্যভাবে বলতে গেলে, ঐ দুই রাশির মধ্যে যেকোনো একটি রাশি আরও নির্ভুলভাবে পরিমাপ করলে অন্য রাশিটির পরিমাপ আরও কম নির্ভুল হবে।

যেকোনো অবস্থান q এবং ভরবেগ p-এর জন্য প্রথাগত প্রতিপাদন নীতি, ১৯২৭। pq − qp = h/(2πi)। হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি, ১৯২৭।

আরও পোশাকি ভাষায় বলতে গেলে, অনিশ্চয়তা নীতি হচ্ছে অসমতার এক রূপ, যা কোনো একজোড়া কোয়ান্টাম রাশির পরিমাপের নির্ভুলতার গুণফলে এক মৌলিক সীমাকে প্রকাশ করে, যেমন অবস্থান x ও ভরবেগ p। এইধরনের চলরাশির যুগল পরিপূরক চলরাশি নামে পরিচিত।

১৯২৭ সালে জার্মান পদার্থবিজ্ঞানী ভের্নার কার্ল হাইজেনবের্গ দ্বারা প্রকাশিত এই নীতি অনুযায়ী, কোনো কণার অবস্থান আরও নির্ভুলভাবে পরিমাপ করলে প্রাথমিক অবস্থা থেকে ভরবেগ আরও কম নির্ভুলভাবে অনুমান করা হবে, এবং এর বিপরীত বিবৃতিও সত্য। ১৯২৭ সালে তাঁর প্রকাশিত গবেষণাপত্রে তিনি আসলে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছিলেন যে অনিশ্চয়তা নীতিটি হচ্ছে ΔpΔq ≈ h, যেখানে h হচ্ছে প্লাঙ্ক ধ্রুবক। ঐ একই বছরে পরে এয়ার্লে হেসা কেনার্ড এবং ১৯২৮ সালে হারমান ভাইল অবস্থান σ_x-এর আদর্শ চ্যুতি এবং ভরবেগ σ_p-এর আদর্শ চ্যুতির সঙ্গে সম্পর্কিত নিম্নলিখিত অসমতাটি নির্ণয় করেছিলেন:

$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~~$

যেখানে ħ = ${\frac {h}{2\pi }}~~$।

ঐতিহাসিকভাবে এই অনিশ্চয়তা নীতিটি পদার্থবিজ্ঞানে পর্যবেক্ষক প্রভাবের সঙ্গে বিভ্রান্ত হয়েছে। পর্যবেক্ষক প্রভাব অনুযায়ী, কিছু সংস্থাকে পরিবর্তিত না করে তার পরিমাপ সম্পন্ন হয় না, হাইজেনবার্গ কোয়ান্টাম স্তরে কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তার এক ভৌত "ব্যাখ্যা" হিসাবে এধরনের পর্যবেক্ষক প্রভাব ব্যবহার করেছেন। তবে এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে অনিশ্চয়তা নীতিটি তরঙ্গের মতো সমস্ত সংস্থার বৈশিষ্ট্যের মধ্যে অন্তর্নিহিত, এবং সমস্ত কোয়ান্টাম বস্তুর পদার্থ তরঙ্গ প্রকৃতির জন্য এটি কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান মধ্যে উদ্ভূত হয়। সুতরাং অনিশ্চয়তা নীতি আসলে কোয়ান্টাম সংস্থার একটি মৌলিক ধর্ম এবং কোনো বর্তমান প্রযুক্তির পর্যবেক্ষণগত সাফল্য সম্পর্কিত কোনো বিবৃতি নয়। প্রকৃতপক্ষে, এই অনিশ্চয়তার নীতির মূল হচ্ছে বলবিজ্ঞানের মৌলিক সমীকরণ লেখার জন্য ক্যালকুলাসের প্রয়োগ। এটি লক্ষণীয় যে এখানে "পরিমাপ" বলতে কেবল এমন কোনো প্রক্রিয়াকে বোঝাচ্ছে না যেখানে পদার্থবিজ্ঞানী-পর্যবেক্ষক অংশগ্রহণ করেন, বরং কোনো পর্যবেক্ষক নির্বিশেষে চিরায়ত ও কোয়ান্টাম বস্তুর মধ্যে যেকোনো আন্তঃক্রিয়াকে বোঝাচ্ছে।

যেহেতু অনিশ্চয়তা নীতি কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের এক মৌলিক ফলাফল, সেহেতু সাধারণ কোয়ান্টাম পরীক্ষাগুলোতে এর বিভিন্ন দিক পাওয়া যায়। কিছু পরীক্ষা তাদের প্রধান গবেষণা কর্মসূচির অংশ হিসাবে অনিশ্চয়তা নীতির এক নির্দিষ্ট রূপকে ইচ্ছাকৃতভাবে পরীক্ষা করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অতিপরিবাহিতা কিংবা কোয়ান্টাম আলোকবিজ্ঞান সংস্থায় সংখ্যা–দশা অনিশ্চয়তা নীতির পরীক্ষা। অনিশ্চয়তা নীতির উপর নির্ভরশীল এমন প্রযুক্তির মধ্যে অত্যন্ত নিম্ন-শব্দের প্রযুক্তি অন্তর্গত, যার মধ্যে মহাকর্ষীয় তরঙ্গ ইন্টারফেরোমিটার উল্লেখযোগ্য।

অবস্থান-ভরবেগ

মূল নিবন্ধ: কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের পরিচিতি

বিভিন্ন তরঙ্গ একত্রিত হয়ে একটি তরঙ্গ গুচ্ছ তৈরি করে। তরঙ্গ সংখ্যা বাড়ানোর সঙ্গে সঙ্গে এটি আরও স্থানীয় হয়ে ওঠে। ফুরিয়ার রূপান্তর হল এমন একটি পদ্ধতি, যা তরঙ্গ গুচ্ছকে তার পৃথক তরঙ্গগুলিতে বিশ্লেষণ করে। এই চিত্রটি সহজবোধ্য ব্যাখ্যার জন্য বাস্তব তরঙ্গ দিয়ে তৈরি; তবে কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে তরঙ্গ সাধারণত জটিল আকার ধারণ করে।

এই নীতি আমাদের দৈনন্দিন জীবনে সরাসরি অনুভূত হয় না কারণ এটি ম্যাক্রোস্কোপিক স্তরে অস্পষ্ট। তবে কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের দুটি ভিন্ন উপায় অনিশ্চয়তার নীতি ব্যাখ্যা করে। তরঙ্গ মেকানিক্স ভিজ্যুয়াল দৃষ্টিকোণে সহজবোধ্য, যেখানে ম্যাট্রিক্স মেকানিক্স এর ব্যাখ্যা আরও তাত্ত্বিক এবং সাধারণীকৃত।

গাণিতিক দিক থেকে, তরঙ্গ মেকানিক্সে স্থান এবং ভরবেগের অনিশ্চয়তা দেখা দেয় কারণ হিলবার্ট স্পেসে এই দুটি বৈশিষ্ট্যের প্রতিনিধিত্বকারী ফুরিয়ার রূপান্তর পরস্পরের সাথে সংযুক্ত। এর মানে হলো, একসাথে স্থান এবং ভরবেগ উভয়ই তীক্ষ্ণভাবে নির্ধারণ করা সম্ভব নয়। এই অনিশ্চয়তা শুধু পদার্থবিজ্ঞানে নয়, সাউন্ড ওয়েভ বা অন্যান্য ফুরিয়ার বিশ্লেষণভিত্তিক সিস্টেমেও দেখা যায়। উদাহরণস্বরূপ, সুরের ক্ষেত্রে একটি খাঁটি নোট একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সিতে খুব তীক্ষ্ণ থাকে, তবে সময় ডোমেনে এটি ছড়িয়ে থাকা তরঙ্গ আকার ধারণ করে।

কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে, কণার অবস্থান তরঙ্গ আকারে প্রকাশ পায় এবং তার ভরবেগ ফুরিয়ার রূপান্তরে সংযুক্ত। দ্য ব্রগলি নীতির মাধ্যমে এটি নিশ্চিত হয়: p = ħk, যেখানে k হল তরঙ্গ সংখ্যা।

ম্যাট্রিক্স মেকানিক্সে, কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের গাণিতিক কাঠামো অনুযায়ী, যেকোনো দুটি পর্যবেক্ষণযোগ্য গুণ, যা কমিউট করে না, সেগুলির জন্য অনুরূপ সীমাবদ্ধতা প্রযোজ্য। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি পরিমাপ করা হয়, তাহলে সিস্টেমটি সেই পর্যবেক্ষণযোগ্যটির নির্দিষ্ট অবস্থায় থাকে। তবে এই অবস্থা অন্য কোনো বৈশিষ্ট্যের জন্য নির্দিষ্ট নাও হতে পারে।

চিত্রায়ন

অনিশ্চয়তার নীতি চিত্রিত করা যায়, যেখানে কণার অবস্থান এবং ভরবেগ তরঙ্গ ফাংশন ব্যবহার করা হয়।

যদি অবস্থান ফাংশন খুব সুনির্দিষ্ট হয়, তাহলে কণার অবস্থান নির্দিষ্ট এলাকায় পাওয়ার সম্ভাবনা বেশি, কিন্তু এই ক্ষেত্রে ভরবেগ ফাংশন তুলনামূলকভাবে ছড়িয়ে পড়ে। বিপরীতে, ভরবেগ যদি সুনির্দিষ্ট হয়, তাহলে অবস্থানের সম্ভাবনা ছড়িয়ে যায়। এই তরঙ্গ ফাংশনগুলি একে অপরের ফুরিয়ার রূপান্তর।

অবস্থান এবং ভরবেগ তরঙ্গ ফাংশন। কণার অবস্থান বা ভরবেগে পাওয়া যাওয়ার সম্ভাবনা রঙের স্বচ্ছতায় দেখানো হয়েছে।
উপরের অংশ: যদি তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ অজানা হয়, তবে ভরবেগ এবং শক্তি নির্ধারণ করা সম্ভব নয়। এই ক্ষেত্রে কণাটি স্থানীয়।
নিচের অংশ: যদি λ জানা থাকে, তাহলে ভরবেগ এবং শক্তিও নির্ধারণ করা সম্ভব। এই ক্ষেত্রে কণাটি ভরবেগের ক্ষেত্রে স্থানীয়।

তরঙ্গ বলবিদ্যার ব্যাখ্যা

মূল নিবন্ধসমূহ: তরঙ্গ গুচ্ছ ও শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ

প্লেন তরঙ্গ

তরঙ্গ গুচ্ছ

ডি ব্রগলি তরঙ্গ ১ডি-তে প্রচলন—জটিল সংখ্যার বাস্তব অংশ নীল, কাল্পনিক অংশ সবুজ। একটি নির্দিষ্ট স্থানে কণা পাওয়ার সম্ভাবনা (যা রঙের স্বচ্ছতায় দেখানো হয়েছে) তরঙ্গের মতো ছড়িয়ে থাকে, কণার অবস্থান নির্দিষ্ট নয়। অ্যাম্প্লিটিউড শূন্যের উপরে বাড়ার সাথে সাথে কর্ভেচার সাইন পরিবর্তন করে, তাই অ্যাম্প্লিটিউড আবার কমতে শুরু করে, এবং বিপরীত—ফলস্বরূপ একটি পরপর পরিবর্তিত অ্যাম্প্লিটিউড: একটি তরঙ্গ।

ডি ব্রগলি অনুমান অনুসারে, পৃথিবীর প্রতিটি বস্তু একটি তরঙ্গ এর সাথে সম্পর্কিত। তাই প্রতিটি বস্তু, মৌলিক কণা থেকে শুরু করে পরমাণু, অণু, এবং গ্রহ এবং তার বাইরে পর্যন্ত সকল কিছু অনিশ্চয়তার নীতির আওতায় আসে।

একটি একক-মোড প্লেন তরঙ্গের সময়-নিরপেক্ষ তরঙ্গ ফাংশন যা তরঙ্গ সংখ্যা k₀ বা ভরবেগ p₀ এর সাথে সম্পর্কিত তা হল $$\psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.$$

বর্ন নিয়ম অনুসারে, এটি একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব অ্যাম্প্লিটিউড ফাংশন হিসাবে ব্যাখ্যা করা উচিত, যার মানে হল যে কণাটি a এবং b এর মধ্যে কোথাও পাওয়া যাওয়ার সম্ভাবনা $$\operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.$$

একক-মোড প্লেন তরঙ্গের ক্ষেত্রে, $|\psi (x)|^{2}$ হল 1 যদি $X=x$ এবং অন্যথায় 0। অর্থাৎ, কণার অবস্থান অত্যন্ত অনিশ্চিত, এটি কার্যত তরঙ্গ গুচ্ছ বরাবর যেকোনো জায়গায় থাকতে পারে।

অন্যদিকে, একটি তরঙ্গ ফাংশন বিবেচনা করুন যা অনেক তরঙ্গের যোগফল, যা আমরা লিখতে পারি $$\psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,$$ যেখানে A_n হল মোড p_n এর মোটের মধ্যে আপেক্ষিক অবদান। ডানপাশের চিত্রগুলো দেখায় যে অনেক প্লেন তরঙ্গ যোগ করলে, তরঙ্গ গুচ্ছ আরও স্থানীয় হতে পারে। আমরা এটি আরও একধাপ এগিয়ে নিতে পারি অবিরাম সীমা, যেখানে তরঙ্গ ফাংশন হল সমস্ত সম্ভাব্য মোডের উপর একটি ইন্টিগ্রাল $$\psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,$$ যেখানে $\varphi (p)$ এই মোডগুলির অ্যাম্প্লিটিউড এবং এটি ভরবেগ স্থানে তরঙ্গ ফাংশন বলা হয়। গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, আমরা বলি যে $\varphi (p)$ হল $\psi (x)$ এর ফুরিয়ার রূপান্তর এবং x এবং p হল সংকল্পিত ভেরিয়েবল। এই সমস্ত প্লেন তরঙ্গ একত্রিত করার ফলে একটি খরচ হয়, অর্থাৎ ভরবেগ কম স্পষ্ট হয়ে যায়, কারণ এটি বিভিন্ন ভরবেগের তরঙ্গের মিশ্রণ হয়ে যায়।

অবস্থান এবং ভরবেগের স্পষ্টতা পরিমাপ করার একটি উপায় হলো আদর্শ বিচ্যুতি σ। যেহেতু $|\psi (x)|^{2}$ হলো অবস্থানের জন্য একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন, আমরা এর আদর্শ বিচ্যুতি হিসাব করি।

অনেক প্লেন তরঙ্গ ব্যবহার করে অবস্থানের স্পষ্টতা উন্নত করা যায়, অর্থাৎ σ_x হ্রাস করা যায়, যার ফলে ভরবেগের স্পষ্টতা দুর্বল হয়ে যায়, অর্থাৎ σ_p বৃদ্ধি পায়। একে অন্যভাবে বললে, σ_x এবং σ_p এর মধ্যে বিপরীত সম্পর্ক রয়েছে অথবা অন্তত নিচ থেকে সীমাবদ্ধ। এটি হল অনিশ্চয়তার নীতি, যার সঠিক সীমা হলো কেনার্ডের সীমা।

তরঙ্গ বলবিদ্যার মাধ্যমে কেনার্ডের অসমতার প্রমাণ

আমরা অবস্থান এবং ভরবেগের ভ্যারিয়েন্স নিয়ে আগ্রহী, যা সংজ্ঞায়িত করা হয় $$\sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}$$ $$\sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.$$

অব্যাহত ক্ষতি ছাড়া, আমরা ধরে নেব যে গণনা শূন্য, যা শুধু আমাদের স্থানাঙ্কের মূল পরিবর্তন করে। (এই অনুমান না করেও একটি সাধারণ প্রমাণ নিচে দেওয়া হয়েছে।) এর ফলে আমরা সহজতর আকারে পাই $$\sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx$$ $$\sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.$$

ফাংশন $f(x)=x\cdot \psi (x)$ একটি ভেক্টর হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে একটি ফাংশন স্থান-এ। আমরা এই ভেক্টর স্থানে দুটি ফাংশন u(x) এবং v(x) এর জন্য একটি ইনার প্রোডাক্ট সংজ্ঞায়িত করতে পারি: $$\langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,$$ এখানে অ্যাস্টারিস্ক চিহ্ন জটিল সহচর নির্দেশ করে।

এই ইনার প্রোডাক্ট সংজ্ঞায়িত করার সাথে সাথে আমরা লক্ষ্য করি যে অবস্থানের ভ্যারিয়েন্স লিখা যেতে পারে $$\sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.$$

আমরা এটি আবার ভরবেগের জন্য পুনরাবৃত্তি করতে পারি, ${\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)$ কে একটি ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। তবে, আমরা এই সুবিধাটিও নিতে পারি যে $\psi (x)$ এবং $\varphi (p)$ একে অপরের ফুরিয়ার রূপান্তর। আমরা বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তর ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্ণয় করি: $${\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ip(x-\chi )/\hbar }\,dp\right]\,d\chi \\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left({\frac {x-\chi }{\hbar }}\right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left(x-\chi \right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar {\frac {d\psi (x)}{dx}}\\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x),\end{aligned}}$$ এখানে $v={\frac {\hbar }{-ip}}e^{-ip\chi /\hbar }$ ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস-এ ব্যবহৃত হয়েছে, বাতিল হওয়া পদটি শূন্যে পরিণত হয় কারণ তরঙ্গ ফাংশন অসীমে বিলুপ্ত হয়। এরপর আমরা ডিরাক ডেল্টা ফাংশন ব্যবহার করি যা বৈধ, কারণ ${\dfrac {d\psi (\chi )}{d\chi }}$ p এর উপর নির্ভর করে না।

পদ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ কে অবস্থান স্থানে ভরবেগ অপারেটর বলা হয়। প্ল্যাঞ্চারেলের উপপাদ্য প্রয়োগ করে, আমরা দেখতে পাই যে ভরবেগের ভ্যারিয়েন্স লেখা যেতে পারে: $$\sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2},dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2},dx=\langle g\mid g\rangle .$$

কাউচি-শোয়ার্জ অসমতা বলে যে: $$\sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.$$

যেকোনো জটিল সংখ্যার মডুলাস স্কয়ার লেখা যেতে পারে: $$|z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.$$

এখানে $z=\langle f|g\rangle$ এবং $z^{*}=\langle g\mid f\rangle$ বসিয়ে দিলে পাই: $$|\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.$$

এখন শুধুমাত্র এই অভ্যন্তরীণ গুণফলগুলো নির্ণয় করা বাকি।

ম্যাট্রিক্স বলবিদ্যার ব্যাখ্যা

মূল নিবন্ধ: ম্যাট্রিক্স বলবিদ্যা

ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতে, পর্যবেক্ষণযোগ্য যেমন অবস্থান এবং ভরবেগকে স্ব-অধিকারী অপারেটর দিয়ে উপস্থাপন করা হয়। দুটি অবজারভেবলের ক্ষেত্রে, একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো কমিউটেটর। যদি দুটি অপারেটর Â এবং ${\hat {B}}$ থাকে, তাহলে তাদের কমিউটেটর নির্ধারণ করা হয় এভাবে: $$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.$$ অবস্থান এবং ভরবেগের ক্ষেত্রে, তাদের কমিউটেটর হয় ক্যানোনিকাল কমিউটেশন রিলেশন: $$[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .$$

কমিউটেটরের এই অ-কমিউটেটিভ প্রকৃতি বোঝা যায় যখন অবস্থান এবং ভরবেগ আইজেন দশার ওপর এর প্রভাব দেখা হয়। ধরা যাক, $|\psi \rangle$ একটি অবস্থান আইজেন দশা যার ধ্রুবক মান x₀। অর্থাৎ, ${\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .$ এই ইজেন দশার ওপর কমিউটেটর প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়: $$[{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,$$ এখানে Î হলো আইডেন্টিটি অপারেটর।

এখন ধরে নিই, $|\psi \rangle$ একই সাথে একটি ভরবেগ আইজেন দশা যার ধ্রুবক মান p₀। যদি তা সত্য হয়, তাহলে লেখা যায়: $$({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.$$ কিন্তু আগের ক্যানোনিকাল কমিউটেশন রিলেশন থেকে পাওয়া যায়: $$[{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.$$ এটি প্রমাণ করে যে কোনো কোয়ান্টাম দশা একই সাথে অবস্থান এবং ভরবেগের আইজেন দশা হতে পারে না।

যখন একটি দশা পরিমাপ করা হয়, তখন সেটি সংশ্লিষ্ট পর্যবেক্ষণযোগ্য কণার আইজেন দশায় প্রজেক্ট হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনো কণার অবস্থান মাপা হয়, তবে দশাটি অবস্থান আইজেন দশা হয়। তবে এটি আর ভরবেগ আইজেন দশা থাকে না বরং এটি ভরবেগের অনেক আইজেন দশার যোগফল হয়। অর্থাৎ, ভরবেগ কম নির্দিষ্ট হয়ে যায়। এই নির্দিষ্টতাকে পরিমাপ করা যায় স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন দিয়ে: $$\sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}$$ $$\sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.$$

উপরের তরঙ্গ মেকানিক্সের ব্যাখ্যার মতো, এখানেও দেখা যায় যে এই দুইটি পরিমাপের নির্ভুলতার মধ্যে একধরনের ভারসাম্য রয়েছে, যা অনিশ্চয়তার নীতির মাধ্যমে প্রকাশ পায়।

কোয়ান্টাম সরল দোলকের স্থিতিশীল অবস্থা

একটি একমাত্রিক কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটরের ক্ষেত্রে, অবস্থান (পজিশন) এবং গতি (মোমেন্টাম) অপারেটরগুলোকে সৃষ্টি এবং ধ্বংসের অপারেটর-এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়: $${\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })$$ $${\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a).$$

সৃষ্টির এবং ধ্বংসের অপারেটরের নিয়ম অনুযায়ী, শক্তির নির্দিষ্ট অবস্থাগুলোতে: $$a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle$$ $$a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ,$$ এগুলো ব্যবহার করে অবস্থান এবং গতির অস্থিরতা (variance) নির্ণয় করা যায়: $$\sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)$$ $$\sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.$$

এরপর, এই অবস্থান এবং গতির জন্য অস্থিরতার গুণফল হয়: $$\sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~$$

বিশেষত, উপরের নিয়ম অনুযায়ী, এটি ন্যূনতম হয় যখন n=0। এই অবস্থায় সম্ভাব্যতা ঘনত্ব সাধারণ গাউস বন্টনের মতো হয়।

গাউসিয়ান প্রাথমিক অবস্থার কোয়ান্টাম সরল দোলক

একটি কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর, যার কৌণিক কম্পাঙ্ক ω, এর অবস্থান যদি একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে সরিয়ে x₀ রাখা হয়, তবে প্রাথমিক অবস্থাটি হবে: $$\psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},$$

যেখানে Ω হলো প্রাথমিক অবস্থার প্রস্থ, কিন্তু এটি ω এর সমান হতে হবে এমন নয়।

প্রসারণের (propagator) মাধ্যমে সমাধান বের করলে দেখা যায়: $$|\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)$$ $$|\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),$$

এগুলোর মাধ্যমে অস্থিরতার গুণফল বের হয়: $${\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}$$

সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা

মূল নিবন্ধ: সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা

একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা হল অ্যানিহিলেশন অপারেটর-এর একটি সঠিক বৈশিষ্ট্য অবস্থা, $${\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ,$$ যেটি ফক অবস্থান এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে $$|\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle$$

যখন সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা একটি কোয়ান্টাম হারমনিক অস্কিলেটরের মধ্যে একটি ভরযুক্ত কণা হিসেবে বিবেচিত হয়, তখন অবস্থান এবং ভরবেগ অপারেটরগুলোকে অ্যানিহিলেশন অপারেটরের মাধ্যমে উপরের একই সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং ভ্যারিয়েন্সগুলো গণনা করা যেতে পারে, $$\sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},$$ $$\sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}.$$ অতএব, প্রতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা কেনার্ড সীমাকে স্যাচুরেট করে $$\sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}.$$ যেখানে অবস্থান এবং ভরবেগের প্রতিটি অংশ একটি "সামঞ্জস্যপূর্ণ" উপায়ে ${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$ পরিমাণে অবদান রাখে। তদুপরি, প্রতিটি চাপগ্রস্ত সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থাও কেনার্ড সীমাকে স্যাচুরেট করে যদিও সাধারণত অবস্থান এবং ভরবেগের অবদানগুলি ভারসাম্যপূর্ণ হতে নাও পারে।

বাক্সে কণা

মূল নিবন্ধ: বাক্সে কণা

ধরা যাক একটি কণা এক-মাত্রিক একটি বাক্সে রয়েছে যার দৈর্ঘ্য $L$। অবস্থান এবং ভরবেগ স্থানে নিজস্ব ফাংশনগুলো হলো $$\psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{অন্যথায়,}}\end{cases}}$$ এবং $$\varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},$$ যেখানে ${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$ এবং আমরা ডি ব্রোগলি সম্পর্ক $p=\hbar k$ ব্যবহার করেছি। $x$ এবং $p$ এর ভ্যারিয়েন্সগুলো সঠিকভাবে গণনা করা যেতে পারে: $$\sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)$$ $$\sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.$$

স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির গুণফল তাই $$\sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.$$ সকল $n=1,\,2,\,3,\,\ldots$ এর জন্য, ${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$ এর মান 1 এর বেশি, তাই অনিশ্চয়তার নীতি কখনও লঙ্ঘিত হয় না। গাণিতিকভাবে, সর্বনিম্ন মানটি হয় যখন $n=1$, এ ক্ষেত্রে $$\sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.$$

স্থিতিশীল ভরবেগ

মূল নিবন্ধ: তরঙ্গ প্যাকেট

স্বাধীন স্থানে সর্বনিম্ন অনিশ্চিত, স্থিতিশীল ভরবেগ সহ একটি প্রাথমিক গাউসিয়ান অবস্থার অবস্থান স্থান সম্ভাবনা ঘনত্ব

ধরা যাক একটি কণার প্রাথমিক ভরবেগ স্থান তরঙ্গ ফাংশন একটি সাধারণ বন্টনের দ্বারা বর্ণিত হয় যা কিছু স্থিতিশীল ভরবেগ p₀-এর চারপাশে থাকে $$\varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right),$$ এখানে আমরা একটি রেফারেন্স স্কেল ${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$ প্রবর্তন করেছি, যেখানে $\omega _{0}>0$ বন্টনের প্রস্থ বর্ণনা করে—অনার্থকীকরণ দেখুন। যদি অবস্থাটি স্বাধীন স্থানে বিবর্তিত হতে দেয়, তবে সময়-নির্ভর ভরবেগ এবং অবস্থান স্থান তরঙ্গ ফাংশনগুলো হবে $$\Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right),$$ $$\Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right).$$

যেহেতু $\langle p(t)\rangle =p_{0}$ এবং $\sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})$, এটি একটি কণার স্ট্যাটাস মুভমেন্ট হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যেটি স্থিতিশীল ভরবেগের সাথে যে কোনও পরিমাণে নির্ভুলতার সাথে চলছে। অন্যদিকে, অবস্থানের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হল $$\sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}$$ এবং অনিশ্চয়তার গুণফল শুধুমাত্র সময়ের সাথে বৃদ্ধি পেতে পারে $$\sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}$$

গাণিতিক রূপ

কেনার্ডের অবস্থান-ভরবেগ অনিশ্চয়তার প্রমাণ থেকে শুরু করে, হাওয়ার্ড পার্সি রবের্টসন একটি ফরমুলেশন তৈরি করেন যে তা হারমিটিয়ান অপারেটর অপারেটরগুলোকে তাদের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় $$\sigma _{\mathcal {O}}={\sqrt {\langle {\hat {\mathcal {O}}}^{2}\rangle -\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle ^{2}}},$$ যেখানে $\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle$ নির্দেশ করে অপারেটর ${\hat {\mathcal {O}}}$ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা পর্যবেক্ষণের একটি অপেক্ষা মান। একটি অপারেটর দম্পতি ${\hat {A}}$ এবং ${\hat {B}}$ এর জন্য, তাদের কমিউটেটর সংজ্ঞায়িত করা হয় $$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}},$$ রবার্টসন অস্থিরতা সম্পর্ক নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছে $$\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|.$$

এরউইন শ্রোডিঙ্গার অপারেটরগুলির মধ্যে সম্পর্কের জন্য এক শক্তিশালী সমীকরণ তৈরি করেন, যা রবার্টসন–শ্রোডিঙ্গার অস্থিরতা সম্পর্ক হিসেবে পরিচিত,

$\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|^{2},$

এখানে আন্তঃকমিউটেটর, $\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}$ ব্যবহৃত হয়।

পপার একটি পরীক্ষা প্রস্তাব করেছিলেন ভ্রান্ত করতে অস্থিরতা সম্পর্ক, যদিও তিনি পরে তার প্রাথমিক সংস্করণ প্রত্যাহার করেন কার্ল ফ্রিডরিচ ভন ভাইজস্যাকার, হেইসেনবার্গ এবং আইনস্টাইনের সাথে আলোচনা করার পর; পপার তার পত্রটি আইনস্টাইনকে পাঠিয়েছিলেন এবং এটি EPR প্যারাডক্সের ফর্মুলেশনকে প্রভাবিত করতে পারে।

স্বাধীন ইচ্ছা

কিছু বিজ্ঞানী, আর্থার কম্পটন এবং মার্টিন হেইসেনবার্গ, ধারণা করেছেন যে অস্থিরতা তত্ত্ব, অথবা কুয়ান্টাম মেকানিক্সের সাধারণ সম্ভাব্য প্রকৃতি, স্বাধীন ইচ্ছার দুটি স্তরের মডেলটির প্রমাণ হতে পারে। তবে একটি সমালোচনা হলো যে কুয়ান্টাম মেকানিক্স জীববিজ্ঞানে একটি মৌলিক ভূমিকা রাখলেও, জীববিজ্ঞানী প্রক্রিয়া যেখানে কুয়ান্টাম মেকানিক্স প্রয়োজন তেমন কিছু অপ্রত্যাশিত নয়, কারণ কক্ষের তাপমাত্রায় কুয়ান্টাম সিস্টেমের দ্রুত ডিকোহেরেন্স সময় ঘটে। এই তত্ত্বের সমর্থকরা সাধারণত বলেন যে এই ডিকোহেরেন্স জীবাণু কোষে স্ক্রীনিং এবং ডিকোহেরেন্স-ফ্রি সাবস্পেসগুলির মাধ্যমে সমাধান করা হয়।

তাপগতিবিজ্ঞান

এমন কিছু কারণ আছে যা থেকে মনে করা হয় যে অনিশ্চয়তা নীতি ভঙ্গ করা মানে দ্বিতীয় তাপগতির নীতি ভঙ্গ করা। দেখুন গিবস পারাডক্স।

নীতির অস্বীকৃতি

অনিশ্চয়তা নীতিগুলি কোয়ান্টাম কণার সাথে সম্পর্কিত – যেমন ইলেকট্রন – যা ক্লাসিক্যাল ধারণাগুলির সাথে – অবস্থান এবং গতি। এটি ধরা হয় যে কোয়ান্টাম কণার অবস্থান এবং গতি আছে। এডউইন সি. কেম্বল ১৯৩৭ সালে উল্লেখ করেছিলেনটেমপ্লেট:Clarify inline যে এমন গুণাবলী পরীক্ষামূলকভাবে যাচাই করা সম্ভব নয় এবং এগুলিকে অস্তিত্ব দেওয়া অনেক সংকট সৃষ্টি করে; একইভাবে রুডলফ হাগ উল্লেখ করেছেন যে কোয়ান্টাম যান্ত্রিক অবস্থানে একটি পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে, যেমন একটি ইলেকট্রনের এবং একটি ডিটেকটরের মধ্যে, এটি একটি অন্তর্নিহিত গুণ নয়। এই দৃষ্টিকোণ থেকে অনিশ্চয়তা নীতি একটি মৌলিক কোয়ান্টাম বৈশিষ্ট্য নয়, বরং এটি একটি ধারণা যা "আমাদের পূর্বপুরুষদের ভাষা থেকে নেওয়া হয়েছে", যেমন কেম্বল বলেছিলেন।

প্রয়োগসমূহ

যেহেতু অনিশ্চয়তা নীতি কোয়ান্টাম যান্ত্রিকতার একটি মৌলিক ফলাফল, সাধারণ কোয়ান্টাম যান্ত্রিক পরীক্ষাগুলি এর বিভিন্ন দিক পর্যবেক্ষণ করে থাকে। সমস্ত ধরনের স্পেকট্রোস্কোপি, পদার্থবিজ্ঞান এর মধ্যে এই সম্পর্ক ব্যবহার করা হয় পরিমাপিত শক্তি লাইনের প্রস্থ এবং কোয়ান্টাম অবস্থার আয়ু সম্পর্কিত করার জন্য। তবে কিছু পরীক্ষায় অনিশ্চয়তা নীতির একটি নির্দিষ্ট রূপ পরীক্ষামূলকভাবে যাচাই করা হয়, যা তাদের মূল গবেষণার অংশ। এর মধ্যে কিছু পরীক্ষার উদাহরণ হলো সুপারকন্ডাক্টিভিটি বা কোয়ান্টাম অপটিক্স সিস্টেমগুলো। অনিশ্চয়তা নীতির উপর নির্ভরশীল কিছু প্রযুক্তির মধ্যে অত্যন্ত কম গোলমাল প্রযুক্তি রয়েছে যেমন মহাকর্ষ তরঙ্গ ইন্টারফেরোমিটারগুলো।

আরও দেখুন

• কোয়ান্টাম বিসংগতি

বহিঃসংযোগ

• Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Uncertainty principle", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Stanford Encyclopedia of Philosophy entry