সাজিটা (জ্যামিতি)

জ্যামিতিতে যে কোন বৃত্তচাপের কেন্দ্র থেকে এর ভিত্তির দূরত্বকে^[১] সাজিটা (sagitta বা sag^[২]) বলা হয়। এই শব্দটি স্থাপত্যবিদ্যায় নির্দিষ্ট উচ্চতা বা দূরত্বে স্প্যানিংয়ের ^[৩] প্রয়োজনে বৃত্তচাপের হিসাব কার্যে ব্যাপকহারে ব্যবহৃত হয়। এছাড়া আলোক বিজ্ঞানে গোলীয় দর্পণ ও লেন্সের গভীরতা নির্দেশ করতেও এর প্রয়োগ করা। শব্দটি সরাসরি ল্যাটিন থেকে এসেছে যার অর্থ শর বা তীর।

বৃত্তচাপের অভ্যন্তরীণ লাল রেখাংশটিই সংশ্লিষ্ট বৃত্তচাপের *সাজিটা*।

সূত্র

ধরাযাক, কোন বৃত্তচাপের গভীরতা বা উচ্চতা $s$ , বৃত্তচাপের বা সংশ্লিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ এবং বৃত্তচাপের প্রান্তবিন্দু দুটিকে সংযোগকারী^[৪] রেখা তথা জ্যা এর অর্ধাংশের দৈর্ঘ্য $\ell$ ।

এখন, $\ell$ ও $r-s$ একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন দুই বাহু এবং $r$ ঐ ত্রিভুজের অতিভূজ হওয়ায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই—

r^{2}=\ell ^{2}+(r-s)^{2}.

এই সমীকরণকে পুনর্বিন্যাস করে নিম্নোক্ত সমীকরণ তিনটি পাওয়া যাবে—

s=r-{\sqrt {r^{2}-{\ell ^{2}}}},

\ell ={\sqrt {2rs-s^{2}}},

or

r={\frac {s^{2}+\ell ^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {\ell ^{2}}{2s}}.

এছাড়াও ভারসাইন ফাংশন থেকেও সাজিটার পরিমাপ করা যায়। যেমন—একক বৃত্তের ক্ষেত্রে বৃত্তচাপের স্প্যান কোণ $Δ = 2 θ$ হলে এবং বৃত্তচাপটি ভারসাইনের অনুরূপ হলে সাজিটার পরিমাপ হবে—

s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.

আসন্ন মান

সাজিটার দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের তুলনায় ক্ষুদ্র হলে নিচের সূত্র থেকে এর আসন্ন মান পাওয়া যায়:

s\approx {\frac {\ell ^{2}}{2r}}

.^[৫]

বিপরীতক্রমে, সাজিটা ছোট হলে এবং সাজিটা, ব্যাসার্ধ ও অর্ধ-জ্যা এর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে বৃত্তচাপ-দৈর্ঘ্য $a$ এর আসন্ন মান নির্ণয়ে নিম্নোক্ত সূত্র প্রয়োগ করা যেতে পারে—

a\approx \ell +{\frac {s^{2}}{r}}

এই সূত্রটি চিনা গণিতবিদ শেন কুওর জানা ছিল। দুই শতাব্দী পরে গুও শৌজিং চাপ-দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সাজিটার সাথে সম্পর্কযুক্ত আরো নিখুঁত একটি সূত্রের^{[স্পষ্টকরণ প্রয়োজন]} উন্নয়ন ঘটান।^[৬]

প্রয়োগ

বাঁকা-চ্যাপ্টা কাঠামো যেমন— বাঁকা দেয়াল, বৃত্তচাপ আকৃতির ছাদ ও সেতু নির্মাণসহ অন্যান্য অসংখ্য কাজে স্থপতি, প্রকৌশলী এবং ঠিকাদারেরা এই সমীকরণসমূহ প্রয়োগ করেন।

এছাড়া পদার্থবিজ্ঞানে ত্বরিত কণার বক্রতার ব্যাসার্ধ নির্ণয়ে জ্যা-দৈর্ঘ্যসহ সাজিটাও ব্যবহার করা হয়। বিশেষকরে, বুদবুদ চেম্বার পরীক্ষণে ক্ষয় কণাসমূহের ভরবেগ নির্ণয়ে এটা ব্যবহৃত হয়।

তথ্যসূত্র

↑ Geometry - Plane, Solid & Analytic Problem Solver, page: 359. Authors: Research & Education Association Editors, Ernest Woodward; Publisher: Research & Education Association (REA), 2012. ISBN 978-0-87891-510-1.
↑ Shaneyfelt, Ted V.। "德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine?"। Hilo, Hawaii: University of Hawaii। ২০১৫-০৯-১৯ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৫-১১-০৮।
↑ সেতু, তোরণ ইত্যাদি গোলীয় কাঠামোয় একদিক থেকে আরেক দিকে প্রসারণকে স্প্যানিং বলা হয়।
↑ বৃত্তচাপের প্রান্তদ্বয়কে পরস্পরের দিকে প্রসারণকে স্প্যানিং বলে। স্প্যানিংয়ে উৎপন্ন রেখা বৃত্তচাপের ভিত্তি দিয়ে গমন করে অর্থাৎ স্প্যানিংয়ের ফলে বৃত্তচাপের ভিত্তি বৃত্তচাপটির প্রান্তবিন্দু দুটির দিকে সম্প্রসারিত হয়।
↑ Woodward, Ernest (ডিসেম্বর ১৯৭৮)। Geometry - Plane, Solid & Analytic Problem Solver। Problem Solvers Solution Guides। Research & Education Association (REA)। পৃষ্ঠা 359। আইএসবিএন 978-0-87891-510-1।
↑ Needham, Noel Joseph Terence Montgomery (১৯৫৯)। Science and Civilisation in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth। 3। Cambridge University Press। পৃষ্ঠা 39। আইএসবিএন 9780521058018।

বহিঃসংযোগ

[1] Geometry - Plane, Solid & Analytic Problem Solver, page: 359. Authors: Research & Education Association Editors, Ernest Woodward; Publisher: Research & Education Association (REA), 2012. ISBN 978-0-87891-510-1.

[Shaneyfelt-2] Shaneyfelt, Ted V.। "德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine?"। Hilo, Hawaii: University of Hawaii। ২০১৫-০৯-১৯ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৫-১১-০৮।

[3] সেতু, তোরণ ইত্যাদি গোলীয় কাঠামোয় একদিক থেকে আরেক দিকে প্রসারণকে স্প্যানিং বলা হয়।

[4] বৃত্তচাপের প্রান্তদ্বয়কে পরস্পরের দিকে প্রসারণকে স্প্যানিং বলে। স্প্যানিংয়ে উৎপন্ন রেখা বৃত্তচাপের ভিত্তি দিয়ে গমন করে অর্থাৎ স্প্যানিংয়ের ফলে বৃত্তচাপের ভিত্তি বৃত্তচাপটির প্রান্তবিন্দু দুটির দিকে সম্প্রসারিত হয়।

[Woodward_1978-5] Woodward, Ernest (ডিসেম্বর ১৯৭৮)। Geometry - Plane, Solid & Analytic Problem Solver। Problem Solvers Solution Guides। Research & Education Association (REA)। পৃষ্ঠা 359। আইএসবিএন 978-0-87891-510-1।

[Needham_1959-6] Needham, Noel Joseph Terence Montgomery (১৯৫৯)। Science and Civilisation in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth। 3। Cambridge University Press। পৃষ্ঠা 39। আইএসবিএন 9780521058018।

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]