সংকোচনশীল ধারা

যে ধারার যোগফল, পদগুলির সংখ্যা অসীমের দিকে অগ্রসর হওয়ার সাথে একটি নির্দিষ্ট মানের দিকে অভিন্ন হয়, তাকে সংকোচনশীল ধারা বা অভিসারী ধারা বলা হয়। আরও স্পষ্টভাবে, একটি অসীম ক্রম $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ একটি সিরিজ S সংজ্ঞায়িত করে যা চিহ্নিত করা হয়

$S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.$

n তম আংশিক যোগফল S_n হল ধারার প্রথম n পদের যোগফল; যা,

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

একটি ধারা সংকোচনশীল হয় যদি এবং কেবল যদি অনুক্রম $(S_{1},S_{2},S_{3},\dots )$ এর আংশিক যোগফল একটি সীমাতে থাকে; যার মানে $a_{k}$ সূচকের ক্রমানুসারে যখন ধারার পদগুলোকে একের পর এক যোগ করা হয়, তখন প্রাপ্ত আংশিক যোগফলগুলো ধীরে ধীরে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার কাছাকাছি চলে আসে।। আরও স্পষ্টভাবে, একটি ধারা সংকোচনশীল হয় যদি এবং কেবল যদি একটি নির্দিষ্ট মান $\ell$ থাকে এবং যেকোনো ছোট মান $\varepsilon$-এর জন্য, এমন একটি পূর্ণসংখ্যা $N$ পাওয়া যায় যা সবার জন্য $n\geq N$, $N$-তম পদ থেকে শুরু করে পরবর্তী সকল পদের যোগফল $\ell$-এর খুব কাছাকাছি থাকে ($\varepsilon$ দূরত্বের মধ্যে)।

$\left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .$

সিরিজটি অভিসারী হলে, (অগত্যা অনন্য) সংখ্যা $\ell$ সিরিজের যোগফল বলা হয়। যদি ধারাটি সংকোচনশীল হয়, অর্থাৎ যদি তার যোগফল একটি নির্দিষ্ট মানের দিকে অভিন্ন হয়,তাহলে সেই নির্দিষ্ট মান $\ell$ কেই ঐ ধারাবাহিকের যোগফল বলা হয়।

ধারার ক্ষেত্রে সেই একই প্রতীক

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

আমরা ব্যবহার করি যা ধারাকে নিজে এবং যদি এটি সংকোচনশীল হয়, তবে তার যোগফলকেও নির্দেশ করে। এই পদ্ধতিটি যোগের ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়, যেখানে a + b চিহ্নটি a এবং b যোগ করার প্রক্রিয়াকে এবং এই যোগফলের মানকেও নির্দেশ করে।

সংকোচনশীল নয় এমন যেকোন ধারাকে বলা হয় অপসারণশীল বা বিচ্যুত ধারা।

সংকোচনশীল এবং অপসারণশীল ধারার উদাহরণ

• ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার পরস্পর বিপরীত সংখ্যাগুলি (অন্যোন্যক) যোগ করলে একটি অভিসারী নয় এমন ধারা (হারমোনিক ধারাবাহিক) পাওয়া যায়।

  ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .$

• ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার পরস্পর বিপরীত সংখ্যাগুলির চিহ্ন বিকল্পভাবে পরিবর্তন করলে একটি অভিসারী ধারাবাহিক (বিকল্প হারমোনিক ধারাবাহিক) পাওয়া যায়।

  ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)$

• মৌলিক সংখ্যার পরস্পর বিপরীত সংখ্যাগুলি যোগ করলে একটি অভিসারী নয় এমন ধারাবাহিক পাওয়া যায়।

  ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .$

• ত্রিভুজাকার সংখ্যার পরস্পর বিপরীত সংখ্যাগুলি একটি অভিসারী ধারাবাহিক গঠন করে।

  ${1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.$

• ফ্যাক্টোরিয়ালের পরস্পর বিপরীত সংখ্যাগুলি একটি অভিসারী ধারাবাহিক গঠন করে।

  ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.$

• বর্গ সংখ্যার পরস্পর বিপরীত সংখ্যাগুলি একটি অভিসারী ধারাবাহিক গঠন করে (বাসেল সমস্যা)।

  ${1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.$

• ২-এর ঘাতগুলির পরস্পর বিপরীত সংখ্যাগুলি একটি অভিসারী ধারাবাহিক গঠন করে:

  ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.$

• যে কোনো n>1 এর ঘাতগুলির পরস্পর বিপরীত সংখ্যাগুলি একটি অভিসারী ধারাবাহিক গঠন করে।

  ${1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.$

• ২-এর ঘাতগুলির পরস্পর বিপরীত সংখ্যাগুলির চিহ্ন বিকল্পভাবে পরিবর্তন করলেও একটি অভিসারী ধারাবাহিক পাওয়া যায়।

  ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.$

• যে কোনো n>1 এর ঘাতগুলির পরস্পর বিপরীত সংখ্যাগুলির চিহ্ন বিকল্পভাবে পরিবর্তন করলেও একটি অভিসারী ধারাবাহিক পাওয়া যায়।

  ${1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.$

• ফিবোনাচ্চি সংখ্যার পরস্পর বিপরীত সংখ্যাগুলি একটি অভিসারী ধারাবাহিক গঠন করে।

  ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .$

সংকোচনশীলতার পরীক্ষা

কোনো ধারাবাহিক অভিসারী নাকি অপসারী তা নির্ধারণ করার জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে।

যদি নীল সিরিজ, $\Sigma b_{n}$,অভিসারী প্রমাণিত হতে পারে, তারপর ছোট সিরিজ, $\Sigma a_{n}$ অভিসারী হতে হবে। contraposition দ্বারা, যদি লাল সিরিজ $\Sigma a_{n}$ বিচ্যুত প্রমাণিত হয়, তারপর $\Sigma b_{n}$ অপসারী হতে হবে।

তুলনা পরীক্ষা হল একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক পদ্ধতি যা কোনো অসীম ধারাবাহিক অভিসারী হবে নাকি অপসারী, তা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়।

ধরা যাক দুটি অনুক্রম $\left\{a_{n}\right\}$ এবং $\left\{b_{n}\right\}$ রয়েছে। যদি প্রতিটি n -এর জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলো পূরণ হয়:

1. $0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}$​, এবং
2. ধারাটি ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$​ অভিসারী হয়,

তাহলে ধারাটি ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$​ ও অভিসারী হবে।

অনুপাত পরীক্ষা :ধরা যাক একটি ধারা ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ রয়েছে এবং প্রতিটি n -এর জন্য $a_{n}$ শূন্য নয়। এখন,

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

যদি r<1: ধারা পূর্ণভাবে অভিসারী। যদি r > 1, তাহলে ধারাটি অপসারী হয়। যদি r = 1, হলে অনুপাত পরীক্ষা অস্পষ্ট, এবং এই ক্ষেত্রে ধারা অভিসারী বা অপসারী হতে পারে।

রুট টেস্ট বা এন রুট টেস্ট । মনে করুন অনুক্রমের শর্তাবলী অ-নেতিবাচক । r এর সংজ্ঞা:

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

যেখানে "lim sup" সীমা উচ্চতর বোঝায় (সম্ভবত ∞; যদি সীমা বিদ্যমান থাকে তবে এটি একই মান)।

যদি r<1: ধারা পূর্ণভাবে অভিসারী। যদি r > 1, তাহলে ধারাটি অপসারী হয়। যদি r = 1, হলে অনুপাত পরীক্ষা অস্পষ্ট, এবং এই ক্ষেত্রে ধারা অভিসারী বা অপসারী হতে পারে।

অনুপাত পরীক্ষা এবং মূল পরীক্ষা উভয়ই একটি জ্যামিতিক ধারাবাহিকের সাথে তুলনা করে কাজ করে, এবং এইভাবে তারা একই রকম পরিস্থিতিতে কার্যকরী। আসলে, যদি অনুপাত পরীক্ষা কাজ করে (অর্থাৎ সীমা বিদ্যমান থাকে এবং 1 এর সমান না হয়) তবে মূল পরীক্ষাও কাজ করে; তবে বিপরীতটি সত্য নয়। অতএব মূল পরীক্ষা আরও সাধারণভাবে প্রযোজ্য, তবে বাস্তবিক দৃষ্টিকোণ থেকে সাধারণত দেখা যায় এমন ধরনের ধারাবাহিকের জন্য সীমা গণনা করা প্রায়শই কঠিন।

অখণ্ড পরীক্ষায় একটি ধারাবাহিকের পদগুলিকে একটি অখণ্ডের অন্তরীকরণের মানের সাথে তুলনা করা হয়। এই তুলনার মাধ্যমে আমরা ধারাবাহিকটি অভিসারী হবে নাকি বিচ্যুত হবে তা নির্ধারণ করতে পারি। ধরা যাক $f(n)=a_{n}$ একটি পজিটিভ এবং মনটোনাস হ্রাস ফাংশন হবে, যদি

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$

সীমা তুলনা পরীক্ষা . ধরা যাক, দুটি ধারা $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$, এবং$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ অস্তিত্ব করে এবং শূন্য নয়, যদি ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ অভিসারী হয়, তাহলে ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ও অভিসারী হবে। যদি ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ অপসারী হয়, তাহলে ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ও অপসারী হবে।

অল্টারনেটিং সিরিজ টেস্ট । এটিকে লাইবনিজ মানদণ্ড (Leibniz Criterion) নামেও ডাকা হয়। যদি একটি পর্যায়ক্রমিক ধারা নিচের আকারের হয়:$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}$$এবং $\left\{a_{n}\right\}$ ধারাটি নিম্নলিখিত শর্তগুলো পূরণ করেঃ

1. $\left\{a_{n}\right\}$ একটানা হ্রাসমান
2. অসীমে 0 এর সীমা আছে,

তাহলে ধারা অভিসারী হবে।

কচি ঘনীভবন পরীক্ষা । যদি $\left\{a_{n}\right\}$ একটি ধনাত্মক এবং মনোটোনিক হ্রাসমান ধারা হয়, ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ অভিসারী হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$ অভিসারী হয়।

ডিরিচলেটের পরীক্ষা

হাবিলের পরীক্ষা

শর্তসাপেক্ষ এবং পরম অভিসারী

যদি একটি ধারা ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ অভিসারী হয়, তবে বলা হয় যে ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ধারা পূর্ণভাবে অভিসারী। যদি ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ পূর্ণভাবে অভিসারী হয়, তবে এটি অভিসারীও হবে। তবে বিপরীতটি সবসময় সত্য নয়। সূচকীয় ফাংশনের এর ম্যাকলরিন সিরিজ এই গুণাবলীর একটি উদাহরণ।

একটি ধারা ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ শর্তসাপেক্ষ অভিসারী হয় যদি ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ অপসারী হয়, এবং ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ অভিসারী হয়। $\ln(1+x)$ এর ম্যাকলরিন ধারা x = 1

<b>রিম্যান সিরিজের উপপাদ্যটি</b> বলে যে, যদি কোনো অসীম ধারাবাহিক শর্তসাপেক্ষে অভিসারী হয়, তবে ধারাবাহিকের পদগুলিকে এমনভাবে পুনর্বিন্যস্ত করা যায় যে নতুন ধারাবাহিকটি যেকোনো বাস্তব সংখ্যায় অভিসারী হবে, বা এমনকি বিচ্যুত হবে। Agnew-এর উপপাদ্যটি এমন পুনর্বিন্যস্তকরণগুলিকে চিহ্নিত করে যা সমস্ত ধারাবাহিকের জন্য অভিসারণ বজায় রাখে।

সামঞ্জস্যপূর্ণ অভিসারণ

ধরা যাক, $\left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}$ হলো একটি ফাংশনের ধারার অনুক্রম। সিরিজ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ বলা হয় সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে অভিসারী যদি ফাংশনের আংশিক যোগফলগুলোর অনুক্রম $\{s_{n}\}$ , যেখানে

$s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$

f- এ অভিন্নভাবে রূপান্তরিত হয়।

অনন্ত ফাংশন ধারাবাহিকের জন্য তুলনা পরীক্ষার একটি অনুরূপ রয়েছে যাকে ওয়াইয়ারস্ট্রাস এম-পরীক্ষা বলা হয়।

কাউশি অভিসারণ মানদণ্ড

কাউশি অভিসারণ মানদণ্ড অনুযায়ী, একটি সিরিজ

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

অভিসারী হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার আংশিক যোগফলগুলোর অনুক্রম একটি কাউশি অনুক্রম (Cauchy sequence) হয়। এর মানে হলো, প্রতিটি $\varepsilon >0,$

$n\geq m\geq N$ এর জন্য

$\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon .$

যার সমতুল্য

$\lim _{m\to \infty }\left(\sup _{n>m}\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|\right)=0.$

বহিঃসংযোগ

• Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Series", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Retrieved May 16, 2005.