উদাহরণস্বরূপ, যদি, n = 2
(
f
g
)
″
(
x
)
=
∑
k
=
0
2
(
2
k
)
f
(
2
−
k
)
(
x
)
g
(
k
)
(
x
)
=
f
″
(
x
)
g
(
x
)
+
2
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
+
f
(
x
)
g
″
(
x
)
.
{\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}
সূত্রটি এর পণ্যটিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে m ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন f 1 ,...,f m
(
f
g
)
″
(
x
)
=
∑
k
=
0
2
(
2
k
)
f
(
2
−
k
)
(
x
)
g
(
k
)
(
x
)
=
f
″
(
x
)
g
(
x
)
+
2
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
+
f
(
x
)
g
″
(
x
)
.
{\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}
যেখানে যোগফল অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমস্ত m -টুপল (k 1 ,..., k m
∑
t
=
1
m
k
t
=
n
,
{\displaystyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}
(
f
1
f
2
⋯
f
m
)
(
n
)
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
∏
1
≤
t
≤
m
f
t
(
k
t
)
,
{\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}
বহুপদ সহগ। এটি বীজগণিত থেকে বহুপদ সূত্রের অনুরূপ।
লাইবনিজ এর সাধারণ নিয়মের প্রমাণ আবেশ দ্বারা দেখানো যায়। ধরা যাক,
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
n
{\displaystyle n}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
(
f
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
−
k
)
g
(
k
)
.
{\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}
যা স্বাভাবিক গুণের নিয়ম এবং সত্য বলে পরিচিত। পরবর্তী, ধরুন যে বিবৃতি একটি নির্দিষ্ট জন্য ধারণ করে
n
≥
1
,
{\displaystyle n\geq 1,}
(
f
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
−
k
)
g
(
k
)
.
{\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}
Then,
(
f
g
)
(
n
+
1
)
=
[
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
−
k
)
g
(
k
)
]
′
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
+
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
−
k
)
g
(
k
+
1
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
+
∑
k
=
1
n
+
1
(
n
k
−
1
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
=
(
n
0
)
f
(
n
+
1
)
g
(
0
)
+
∑
k
=
1
n
(
n
k
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
+
∑
k
=
1
n
(
n
k
−
1
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
+
(
n
n
)
f
(
0
)
g
(
n
+
1
)
=
(
n
+
1
0
)
f
(
n
+
1
)
g
(
0
)
+
(
∑
k
=
1
n
[
(
n
k
−
1
)
+
(
n
k
)
]
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
)
+
(
n
+
1
n
+
1
)
f
(
0
)
g
(
n
+
1
)
=
(
n
+
1
0
)
f
(
n
+
1
)
g
(
0
)
+
∑
k
=
1
n
(
n
+
1
k
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
+
(
n
+
1
n
+
1
)
f
(
0
)
g
(
n
+
1
)
=
∑
k
=
0
n
+
1
(
n
+
1
k
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}
এবং তাই প্রকাশটি
n
+
1
,
{\displaystyle n+1,}
বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভের জন্য মাল্টি-ইনডেক্স নোটেশনসহ, লাইবনিজ নিয়ম আরও সাধারণভাবে বলে:
∂
α
(
f
g
)
=
∑
β
:
β
≤
α
(
α
β
)
(
∂
β
f
)
(
∂
α
−
β
g
)
.
{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).}
এই সূত্রটি এমন একটি সূত্র বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলোর গঠনের প্রতীক গণনা করে। প্রকৃতপক্ষে, P এবং Q-কে ডিফারেনশিয়াল অপারেটর হতে দিন (সহগ সহ যা পর্যাপ্তভাবে বহুবার পার্থক্যযোগ্য) এবং
R
=
P
∘
Q
.
{\displaystyle R=P\circ Q.}
R একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, তাই R- এর চিহ্নটি দেওয়া হয়েছে:
R
(
x
,
ξ
)
=
e
−
⟨
x
,
ξ
⟩
R
(
e
⟨
x
,
ξ
⟩
)
.
{\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}
একটি সরাসরি গণনা এখন দেয়:
R
(
x
,
ξ
)
=
∑
α
1
α
!
(
∂
∂
ξ
)
α
P
(
x
,
ξ
)
(
∂
∂
x
)
α
Q
(
x
,
ξ
)
.
{\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}
এই সূত্রটি সাধারণত লাইবনিজ সূত্র নামে পরিচিত। এটি চিহ্নগুলোর স্থানের মধ্যে গঠনটি সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, যার ফলে রিং কাঠামো প্ররোচিত হয়।
![{\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195166910864530fea5b647df661b47df305b4b3)
