ফেলার-এর মুদ্রা নিক্ষেপ ধ্রুবক

ফেলার-এর মুদ্রা নিক্ষেপ ধ্রুবক এমন কিছু সংখ্যাসূচক ধ্রুবকের একটি সেট যা একটি ন্যায্য মুদ্রার n বার স্বাধীন নিক্ষেপের ক্ষেত্রে এই সম্ভাবনা বর্ণনা করে যে k ধারাবাহিক হেড (অথবা একইভাবে, টেইল) পড়বে না।

উইলিয়াম ফেলার প্রমাণ করেছিলেন^[১] যে, যদি এই সম্ভাবনাটি

p ( n, k ) হিসেবে প্রকাশ করা হয়, তাহলে

\lim _{n\rightarrow \infty }p(n,k)\alpha _{k}^{n+1}=\beta _{k}

এখানে α _k হলো নিম্নলিখিত সমীকরণের সবচেয়ে ছোট ধনাত্মক বাস্তবমূল:

x^{k+1}=2^{k+1}(x-1)

এবং

\beta _{k}={2-\alpha _{k} \over k+1-k\alpha _{k}}.

ধ্রুবকের মান

k	$\alpha _{k}$	$\beta _{k}$
১	২	২
2	১.২৩৬০৬৭৯৭...	১.৪৪৭২১৩৫৯...
৩	১.০৮৭৩৭৮০২...	১.২৩৬৮৩৯৮৩...
4	১.০৩৭৫৮০১২...	১.১৩২৬৮৫৭৭...

জন্য $k=2$ ধ্রুবকগুলি সোনালী অনুপাত $\varphi$ এবং ফিবোনাচ্চি সংখ্যার সাথে সম্পর্কযুক্ত। ধ্রুবকগুলি হল:

${\sqrt {5}}-1=2\varphi -2=2/\varphi$

এবং

$1+1/{\sqrt {5}}$ .

সুনির্দিষ্ট সম্ভাবনা p (n,2) গণনা করা যায় ফিবোনাচ্চি সংখ্যা ব্যবহার করে:

p (n,2) = ${\tfrac {F_{n+2}}{2^{n}}}$

অথবা, একই ফলাফলে পৌঁছাতে সরাসরি পুনরাবৃত্ত সম্পর্ক ব্যবহার করে। উচ্চতর $k$ -এর ক্ষেত্রে, ধ্রুবকগুলি ফিবোনাচ্চি সংখ্যার সাধারণীকরণের (যেমন, ট্রাইবোনাচ্চি এবং টেট্রানাচ্চি সংখ্যা) সাথে সম্পর্কযুক্ত। এক্ষেত্রে সুনির্দিষ্ট সম্ভাবনা গণনা করা যায়: p (n,k) = ${\tfrac {F_{n+2}^{(k)}}{2^{n}}}$ ^[২]