গাণিতিক সংগঠন

গণিতশাস্ত্রে সংগঠন বলতে একটি সেটকে বোঝায় যাকে কিছু অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য প্রদান করা হয়েছে, যেমন ক্রিয়া, সম্বন্ধ, মাত্রিক বা টপোগাণিতিক দেশ। প্রায়শই এই অতিরিক্ত সংযোজিত বৈশিষ্ট্যগুলি সেটটির সাথে সংযুক্ত বা সম্পর্কিত থাকে, যাতে সেটটিকে কিছু অতিরিক্ত অর্থ বা তাৎপর্য প্রদান করা যায়।

গণিতে সম্ভাব্য সংগঠনগুলির মধ্যে আছে পরিমাপ, বীজগাণিতিক সংগঠন (যেমন গ্রুপ, ক্ষেত্র, ইত্যাদি), টপোগণিত, মাত্রিক সংগঠনসমূহ (জ্যামিতিক সংগঠনসমূহ), ক্রমসমূহ, ঘটনাসমূহ, সমতুল্যতা সম্বন্ধসমূহ, ব্যবকলনীয় সংগঠনসমূহ, এবং শ্রেণীসমূহ।

কখনও কখনও একটি সেটকে একাধিক বৈশিষ্ট্য একই সময়ে প্রদান করা হতে পারে, যার সুবাদে গণিতবিদেরা ভিন্ন ভিন্ন সংগঠনের মধ্যকার আন্তঃক্রিয়া আরও সমৃদ্ধভাবে অধ্যয়ন করতে পারেন। যেমন, একটি অনুক্রমায়ন একটি সেটের উপরে একটি কঠোর রূপ, আকৃতি বা টপোলজি চাপিয়ে দিতে পারে, এবং যদি কোনও সেটের টপোলজি ও গ্রুপ উভয় ধরনের বৈশিষ্ট্য থাকে, এবং এগুলির মধ্যে কোনও সম্পর্ক থাকে, তাহলে ঐ সংগঠনটি একটি টপোলজীয় গ্রুপে পরিণত হয়।

একাধিক সেটের মধ্যে যেসব প্রতিচিত্রণ সংগঠন সংরক্ষণ করে (অর্থাৎ কোনও অপেক্ষকের ক্ষেত্রে অবস্থিত সংগঠনগুলিকে সহক্ষেত্রে অবস্থিত সমতুল্য সংগঠনের প্রতি প্রতিচিত্রণ করা হয়, সেগুলি গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রের বিশেষ আগ্রহজনক। এদের মধ্যে আছে সমরূপিতা (হোমোমর্ফিজম), যেগুলি বীজগাণিতিক সংগঠনগুলি সংরক্ষণ করে। আরও আছে বিষমরূপিতা (ডিফেওমর্ফিজম), যেগুলি ব্যবকলনীয় সংগঠনগুলি সংরক্ষণ করে।