ক্যাটাগরি তত্ত্ব

ক্যাটাগরি তত্ত্ব গণিতের একটি শাখা যেটি সমগ্র গণিতকে সাধারণীকরণ করার একটি প্রচেষ্টা করে। এই তত্ত্ব ক্যাটাগরি নামক একটি ধারণার প্রবর্তন করে - যেখানে একটি ক্যাটাগরি হচ্ছে বিভিন্ন গাণিতিক বস্তুর একটি সংকলন, এবং এই বস্তুগুলোর মধ্যে বিভিন্ন ম্যাপ বা "মরফিজম" থাকতে পারে। একটি ক্যাটাগরি যে কোন ধরনের গাণিতিক বস্তুর সংকলন হতে পারে, যেগুলোকে অবশ্য বেশ কিছু স্বতঃসিদ্ধ মানতে হবে। স্যামুয়েল আইলেনবার্গ ও সন্ডার্স ম্যাক লেন ক্যাটাগরি তত্ত্বের প্রবর্তন করেন।

একটি ক্যাটাগরিঃ যেখানে তিনটি বস্তু X, Y, Z আছে। ক্যাটাগরিটির তিনটি মরফিজম f, g, g ∘ f এখানে অঙ্কিত হয়েছে, এবং এর বাকি তিনটি মরফিজম 1_X, 1_Y and 1_Z (যেগুলো আইডেনটিটি মরফিজম) এখানে অঙ্কিত হয়নি।উদাহরণস্বরূপ, এখানে f মরফিজমটির সূচনা অবজেক্ট হচ্ছে X, আর টার্গেট অবজেক্ট হচ্ছে Y.

ক্যাটাগরির সংজ্ঞা

একটি ক্যাটাগরি C নিম্নোক্ত জিনিসগুলো দ্বারা গঠিতঃ

• একগাদা গাণিতিক বস্তু বা অবজেক্টের একটি ক্লাস, ob(C)
• একগাদা মরফিজমের একটি ক্লাস, hom(C). মরফিজমগুলোকে ম্যাপ বা arrow - ও বলা যেতে পারে। প্রতিটি মরফিজম f এর একটি সূচনা অবজেক্ট a ও একটি টার্গেট অবজেক্ট b থাকতে হবে, যেটাকে গাণিতিক চিহ্নে দেখানো হয়ঃ f: a → b (চিত্রে অঙ্কনের সময় মরফিজমটিকে দেখানো হয় a থেকে b পর্যন্ত একটি তীরের মত করে।) একটি মরফিজমের সূচনা অবজেক্ট ও টার্গেট অবজেক্ট একই হতে পারে । দুটি অবজেক্ট X, Y এর মধ্যকার মরফিজমগুলোর সংকলন সূচিত হয় hom(X, Y) দিয়ে। (যদি দুটি অবজেক্টের মধ্যে কোন মরফিজম না থাকে, তবে hom(X, Y) ফাঁকা হবে।)

যদি তিনটি অবজেক্ট a,b,c ও দুটি মরফিজম f : a → b and g : b → c দেয়া থাকে, তবে প্রদত্ত এই f ও g এর জন্য আরেকটি মরফিজম g ∘ f: a → c পাওয়া যাবে। আমরা বলি যে, f ও g-কে কম্পোজ করে আমরা g ∘ f-কে পেয়েছি।

এই ক্যাটাগরিটি দুটি স্বতঃসিদ্ধ মেনে চলেঃ

• যদি f : a → b, g : b → c and h : c → d হয়, তবে h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f হতে হবে।
• প্রতিটি অবজেক্ট x-এর জন্য একটি বিশেষ মরফিজম 1_x : x → x থাকতে হবে - যেন প্রতিটি মরফিজম f : a → x এর জন্য 1_x ∘ f = f সত্যি হয়, আর প্রতিটি মরফিজম g : x → b এর জন্য g ∘ 1_x = g সত্যি হয়। এটা সহজেই দেখানো যায় যে প্রতিটি অবজেক্ট x-এর জন্য এমন ধরনের মরফিজম একটির বেশি থাকতে পারে না। এরকম মরফিজমকে বলে আইডেনটিটি মরফিজম।

তথ্যসূত্র

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (১৯৯০)। Abstract and concrete categories। John Wiley & Sons। আইএসবিএন 0-471-60922-6। ২৪ ফেব্রুয়ারি ২০২১ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ৩০ ডিসেম্বর ২০১৪। 
• Awodey, Steve (২০০৬)। Category Theory। Oxford Logic Guides। 49। Oxford University Press। আইএসবিএন 978-0-19-151382-4। 

আরোও পড়ুন

• Jean-Pierre Marquis (২০০৮)। From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-1-4020-9384-5। 

বহিঃসংযোগ

• Theory and Application of Categories, an electronic journal of category theory, full text, free, since 1995.
• nLab, a wiki project on mathematics, physics and philosophy with emphasis on the n-categorical point of view.
• André Joyal, CatLab, a wiki project dedicated to the exposition of categorical mathematics.
• Hillman, Chris, A Categorical Primer, টেমপ্লেট:Citeseerx উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) , a formal introduction to category theory.
• Adamek, J.; Herrlich, H.; Stecker, G.। "Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats" (পিডিএফ)। ২১ এপ্রিল ২০১৫ তারিখে মূল (PDF) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ৩০ ডিসেম্বর ২০১৪। 
• Category Theory স্ট্যানফোর্ড এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ফিলোসফি-র ভুক্তি, লিখেছেন Jean-Pierre Marquis with an extensive bibliography.
• List of academic conferences on category theory
• Baez, John (১৯৯৬)। "The Tale of n-categories"।  — An informal introduction to higher order categories.
• ইউটিউবে The catsters চ্যানেল, a channel about category theory.
• টেমপ্লেট:Planetmath reference
• Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
• Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.