অয়লারের সূত্র

অয়লারের সূত্র জটিল বিশ্লেষণের একটি গাণিতিক সূত্র যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং জটিল সূচকীয় ফাংশনগুলির মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক স্থাপন করে। এ সূত্রটির নামকরণ করা হয় বিখ্যাত গণিতবিদ লিওনার্দ অয়লারের নামানুসারে। এ সূত্রানুসারে যে কোন বাস্তব সংখ্যা $x$ এর জন্য,

${e}^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}$

যেখানে $e$ হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি, $i$ কাল্পনিক সংখ্যার একক, $cos,sin$ হল ত্রিকোণমিতিক কোসাইন ও সাইন ফাংশন এবং $x$ রেডিয়ানে প্রকাশিত। এই জটিল সূচকীয় ফাংশনটি কখনও কখনও $\cos(x)$ ("cosine plus i sine") দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়। $x$ যদি জটিল সংখ্যা হয় তাহলেও সূত্রটি বৈধ এবং তাই কিছু লেখক অয়লারের সূত্র হিসাবে এই সাধারণ জটিল সংস্করণটি বোঝায়।

অয়লারে সূত্রে $x=\pi$ বসিয়ে পাই, $e^{i\pi }+1=0$, যা অয়লারের অভেদ নামে পরিচিত।

অয়লারের সূত্র।

প্রমাণ

টেইলরের ধারার সাহায্যে

${\begin{aligned}e^{ix}&{}=1+ix+{\frac {{(ix)}^{2}}{2!}}+{\frac {{(ix)}^{3}}{3!}}+{\frac {{(ix)}^{4}}{4!}}+{\frac {{(ix)}^{5}}{5!}}+{\frac {{(ix)}^{6}}{6!}}+{\frac {{(ix)}^{7}}{7!}}+{\frac {{(ix)}^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=1+ix-{\frac {{x}^{2}}{2!}}-{\frac {{ix}^{3}}{3!}}+{\frac {{x}^{4}}{4!}}+{\frac {{ix}^{5}}{5!}}-{\frac {{x}^{6}}{6!}}-{\frac {{ix}^{7}}{7!}}+{\frac {{x}^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=(1-{\frac {{x}^{2}}{2!}}+{\frac {{x}^{4}}{4!}}-{\frac {{x}^{6}}{6!}}+{\frac {{x}^{8}}{8!}}+\cdots )+i(x-{\frac {{x}^{3}}{3!}}+{\frac {{x}^{5}}{5!}}-{\frac {{x}^{7}}{7!}}+\cdots )\\[8pt]&{}=\cos {x}+i\sin {x}\\[8pt]\end{aligned}}$

ক্যালকুলাসের সাহায্যে

প্রমাণ ১ঃ

ধরা যাক,

$f(x)=e^{-ix}(\cos {x}+i\sin {x})$

$f(x)$ কে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে, $f'(x)=e^{-ix}(-\sin {x}+i\cos {x})-ie^{-ix}(\cos {x}+i\sin {x})=0$

যেহেতু ফাংশন $f$ এর অন্তরীকরণ শূন্য সেহেতু এটি একটি ধ্রুব ফাংশন। অর্থাৎ, $f(x)=e^{-x}(\cos {x}+i\sin {x})=c$, যেখানে $c$ একটি ধ্রুবক।

$x=0$ বসিয়ে, $f(0)=1=c$

সুতরাং, $f(x)=e^{-x}(\cos {x}+i\sin {x})=1$

অর্থাৎ $e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}$ (প্রমাণিত)

প্রমাণ ২ঃ

ধরা যাক,

${\begin{aligned}z&{}=\cos {x}+i\sin {x}\\[8pt]\therefore dz&{}=(-\sin {x}+i\cos {x})dx\\[8pt]dz&{}=(i^{2}\sin {x}+i\cos {x})dx\\[8pt]dz&{}=i(\cos {x}+i\sin {x})dx\\[8pt]dz&{}=izdx\\[8pt]{\frac {dz}{z}}&{}=idx\\[8pt]\int {\frac {dz}{z}}&{}=i\int {dx}\\[8pt]\ln {z}&{}=ix+c\\\end{aligned}}$

যেখানে $c$ সমাকলন ধ্রুবক। প্রথম লাইনের সমীকরণে $x=0$ বসালে $z=1$ হয়। শেষ সমীকরণে $x=0$ এবং $z=1$ বসিয়ে $c=0$ পাওয়া যায়।

সুতরাং,

$\ln {z}=ix$

$e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}$ (প্রমাণিত)