অপারেটর (পদার্থবিজ্ঞান)

পদার্থবিজ্ঞানে অপারেটর হল এমনই এক ফাংশন যা এক ভৌত অবস্থার স্থান থেকে আরেক ভৌত অবস্থার স্থানে সার্বিক বা অন্টু। প্রতিসাম্য নিয়ে আলোচনা হল অপারেটরের উপযোগিতার সরলতম উদাহরণ, এই প্রসঙ্গে যা গ্রুপের ধারণাকে উপযোগী করে তোলে। চিরায়ত বলবিদ্যায় অপারেটরসমূহ তাই খুবই দরকারী সরঞ্জাম। এমনকি কোয়ান্টাম বলবিদ্যাতেও এগুলো খুবই গুরুত্বপূর্ণ যেখানে এরা কোন তত্ত্বের সূত্রায়নের ক্ষেত্রে সূত্রের একটি অন্তর্নিহিত অংশ গঠন করে।

চিরায়ত বলবিদ্যার অপারেটরসমূহ

চিরায়ত বলবিদ্যায় কণার গতি বা কণার সিস্টেমকে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান $L(q,{\dot {q}},t)$ অথবা এর সমতূল্য হ্যামিল্টনিয়ান $H(q,p,t)$ এর মাধ্যমে সম্পূর্ণভাবে নির্ধারণ করা হয়। ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ও হ্যামিল্টনিয়ান উভয়ে সাধারণিকৃত স্থানাঙ্ক q, সাধারণিকৃত বেগ ${\dot {q}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}$ এবং এর অনুবন্ধী ভরবেগ $p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$ এর ফাংশন।

L অথবা H যেটিই হোক না কেন সাধারণিকৃত স্থানাঙ্ক q এর সাপেক্ষে এদের স্বাধীন থাকার অর্থ হল q এর পরিবর্তন ঘটলেও L এবং H পরিবর্তন ঘটবে না। উপরন্তু এর দ্বারা আরও বোঝানো হয় যে, যখন q পরিবর্তিত হয় কণার গতিবিদ্যা তখনও একই থাকে এবং আনুষঙ্গিক ভরবেগ যা ঐ স্থানাঙ্কসমূহের অনুবন্ধী তা সংরক্ষিত থাকে (এটি ন্যোটার উপপাদ্যের অংশবিশেষ এবং q স্থানাঙ্কের সাপেক্ষে গতির এই ইনভেরিয়েন্স (এক প্রকার অপরিবর্তনীয়তা) হল একটি প্রতিসাম্য। বিশেষ কোন রূপান্তরে অধীনে কোন ফাংশন, রাশি বা কোন ধর্মের অপরিবর্তনীয় থাকার ব্যাপারটিই ইনভেরিয়েন্স এবং যারা এই বৈশিষ্ট্য প্রদর্শন করে তাদের বলা হয় ইনভেরিয়েন্ট। আর পদার্থবিজ্ঞানে কোন ভৌত সিস্টেমের প্রতিসাম্য হল সিস্টেমটির সেই ভৌত বা গাণিতিক বৈশিষ্ট্য যা কিছু রূপান্তরের অধীনে সংরক্ষিত বা অপরিবর্তিত থাকে যেখানে এই বৈশিষ্ট্য হতে পারে পর্যবেক্ষণলব্ধ বা অন্তর্জাত)। চিরায়ত বলবিদ্যায় ব্যবহৃত অপারেটরগুলো এই প্রতিসাম্যগুলোর সাথে জড়িত।

আরও কৌশলগতভাবে বলা যায়, G রূপান্তরসমূহের একটি নির্দিষ্ট গ্রুপ ক্রিয়ারত থাকা অবস্থায় যদি H ইনভেরিয়েন্ট থাকে তবে সেক্ষেত্রে G গ্রুপটি যে উপাদানগুলো নিয়ে গঠিত উপাদানগুলোই হচ্ছে ভৌত অপারেটর যারা নিজেদের মধ্যে ভৌত অবস্থার মানচিত্রায়ন করে যেখানে:

$S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)$

চিরায়ত বলবিদ্যার অপারেটরসমূহের তালিকা

রূপান্তর	অপারেটর	অবস্থান	ভরবেগ
অনুবাদী প্রতিসাম্য	$X(\mathbf {a} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
সময় অনুবাদ প্রতিসাম্য	$U(t_{0})$	$\mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})$	$\mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})$
ঘূর্ণন ইনভেরিয়েন্স	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
গ্যালিলীয় রূপান্তরসমূহ	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
প্যারিটি	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
T-প্রতিসাম্য	$T$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

এখানে $R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )$ হচ্ছে একক ভেক্টর ${\hat {\boldsymbol {n}}}$ এবং কোণ θ দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি অক্ষের ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স

উৎপাদক

(সতর্কতা: গণিতের উৎপাদকের থেকে অপারেটরের উৎপাদক ভিন্ন বিষয়।)

যদি রূপান্তরটি শূন্যসন্নিকর্ষী হয় তবে অপারেটরটির কার্যক্রমের আকৃতিটি নিম্নরূপ হওয়া উচিৎ

$I+\epsilon A$

যেখানে $I$ হল অভেদ অপারেটর, $\epsilon$ হল ক্ষুদ্র মান যুক্ত একটি পরামিতি এবং $A$ হল গ্রুপের একটি উৎপাদক যা উদ্দিষ্ট রূপান্তরটির উপর নির্ভরশীল। উৎপাদকের একটি সাধারণ উদাহরণরূপে পুনরায় 1D ফাংশন নির্ভর স্থান-অনুবাদের উৎপাদক প্রতিপাদন করা হবে।

যেহেতু একে $T_{a}f(x)=f(x-a)$ বর্ণনা করা হয়েছে তাই $a=\epsilon$ শূন্যসন্নিকর্ষী হলে আমরা লিখতে পারি—

$T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x)$

একে নিম্নরূপে পুনর্লিখন করা যেতে পারে —

$T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)$

যেখানে $D$ হল অনুবাদ গ্রুপটির উৎপাদক যা এক্ষেত্রে হবে অন্তরজ অপারেটর। এর আলোকে তাই আমরা বলতে পারি কোন অনুবাদ গ্রুপের উৎপাদক হল অন্তরজ।